§ 1. Алгебраические методы решения систем уравнений

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые нужно рассматривать одновременно. Например, в записи из двух уравнений значения x и y должны подходить обоим равенствам. Система нужна, когда условие задачи задаёт сразу несколько связей между одними и теми же величинами.

Решение системы — набор значений неизвестных, удовлетворяющий каждому уравнению системы. Для двух неизвестных это обычно пара чисел (x; y), и порядок в ней важен. Одно уравнение может быть верным для пары, а второе — нет, поэтому проверяют все условия.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Это понятие позволяет заменять исходную систему более удобной, не меняя ответа задачи. Если преобразование добавляет или теряет решения, полученная система уже не равносильна исходной.

Метод подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной неизвестной подставляют в другое уравнение. Например, если известно y = 2x − 1, вместо y в соседнем уравнении можно записать 2x − 1. Так система превращается в уравнение с одной неизвестной.

Как это устроено

Преобразования системы должны сохранять её решения: иначе вместо ответа исходной задачи можно получить лишние пары или потерять подходящие. Умножение обеих частей уравнения на ненулевое число, перенос слагаемых и сложение уравнений с сохранением равенства дают удобные формы для вычислений. Равносильность проверяют, выясняя, можно ли выполнить обратный переход без потери условий; в конце найденные значения подставляют в исходные уравнения.

При подстановке сначала выбирают уравнение, из которого проще выразить неизвестную: например, y = 2x − 1 уже задаёт y через x. Это выражение заменяет y в другом уравнении, поэтому остаётся одно уравнение с x. После его решения найденное значение подставляют в выражение для y, чтобы получить всю пару.

Метод сложения устроен так, чтобы одно слагаемое с неизвестной сократилось. Для этого уравнения при необходимости умножают на числа, которые делают коэффициенты одной неизвестной противоположными: например, 2x и −2x. При сложении равенств эти слагаемые дают ноль, и остаётся уравнение с другой неизвестной.

Когда найдена одна неизвестная, вторую восстанавливают из исходного уравнения или из одного из равносильных уравнений системы. Затем каждую полученную пару проверяют в исходной записи, а не только в преобразованной. Такая проверка нужна, потому что при решении легко ошибиться в знаке, вычислении или подстановке.

Выбор метода зависит от того, какой шаг проще сделать именно в данной системе. Если неизвестная уже выражена или легко выражается, обычно удобна подстановка; если коэффициенты близки к противоположным или их просто уравнять, быстрее бывает сложение. Для нелинейных систем тоже можно применять эти приёмы, но важно следить, чтобы преобразования сохраняли все возможные решения.

Сравнение алгебраических методов решения систем

Сначала сравни признаки в строках «Основной приём» и «Когда удобен»: они подсказывают, какой способ быстрее. Затем проверь, какое уравнение получится после преобразования и легко ли его решить. Оба метода должны привести к тем же решениям, если преобразования выполнены верно.

Разбор задач

Решим систему x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y уже противоположны, поэтому метод сложения сразу исключит эту неизвестную. После нахождения x используем одно из исходных уравнений, чтобы восстановить y.

1. Складываем уравнения: (x + y) + (x − y) = 7 + 1, откуда 2x = 8 и x = 4.
2. Подставляем x = 4 в первое уравнение: 4 + y = 7, поэтому y = 3.
3. Проверяем: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. Оба равенства верны.

Ответ: (4; 3).

Теперь решим y = 2x − 1, x² + y = 11. Здесь y уже выражена, поэтому подстановка избавляет от одной неизвестной без дополнительных преобразований. Квадратное уравнение может дать несколько корней, и для каждого нужно восстановить y.

1. Подставляем y = 2x − 1 во второе уравнение: x² + 2x − 1 = 11, значит x² + 2x − 12 = 0.
2. Разлагаем на множители: (x + 4)(x − 3) = 0. Поэтому x = −4 или x = 3.
3. При x = −4 получаем y = −9, а при x = 3 получаем y = 5. Проверяем пары: 16 − 9 = 7? Это не равно 11, поэтому проверяем исходную запись внимательнее: при x = −4, x² + y = 16 − 9 = 7, а при x = 3, 9 + 5 = 14. Значит, в вычислении корней ошибка: x² + 2x − 12 = 0 имеет корни −1 ± √13.
4. Для каждого корня используем y = 2x − 1. Проверка второго уравнения проходит, поскольку корни получены из него после подстановки.

Ответ: (−1 + √13; 2√13 − 3) и (−1 − √13; −2√13 − 3).

В системе x² + y² = 25, x + y = 7 удобно использовать сумму, чтобы выразить произведение. Это позволяет не подставлять длинное выражение с квадратом, а получить уравнение для двух чисел x и y. После решения нужно проверить обе возможные расстановки значений.

1. Возводим x + y = 7 в квадрат: (x + y)² = x² + 2xy + y² = 49.
2. Так как x² + y² = 25, получаем 25 + 2xy = 49, значит xy = 12.
3. Числа x и y имеют сумму 7 и произведение 12. Они являются корнями уравнения t² − 7t + 12 = 0, то есть t = 3 или t = 4.
4. Получаем пары (3; 4) и (4; 3). В каждой x + y = 7, а x² + y² = 9 + 16 = 25.

Ответ: (3; 4), (4; 3).

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить или сложить только одно уравнение, будто это преобразует всю систему. Так равенство может измениться, а связь между условиями нарушится. Обычно так происходит, когда ученик теряет из виду, что работает сразу с двумя равенствами; проверяй, какую операцию выполняешь и к каким частям каждого равенства она относится.

При подстановке иногда теряют скобки: вместо x² + (2x − 1) записывают x² + 2x − 1, а при выражении с минусом меняют знаки неверно. Ошибку провоцирует спешка, особенно когда подставляемое выражение содержит несколько слагаемых. Ставь скобки вокруг всего выражения и раскрывай их только после замены.

После исключения неизвестной можно остановиться, забыв восстановить её значение. Тогда найдено только число, а не решение системы, особенно если в задаче две неизвестные. Проверь, записана ли полная пара, и подставь найденное значение в уравнение, из которого можно найти пропущенную неизвестную.

Наконец, нельзя принимать найденную пару без проверки в исходной системе. Ошибка в вычислениях или неравносильное преобразование могут дать значение, которое подходит последнему уравнению, но не исходным условиям. Подставь оба числа по очереди во все исходные равенства и убедись, что каждое равенство верно.

Связь с другими темами

Для решения систем нужны навыки, которые уже встречались при работе с уравнениями: решение линейных и квадратных уравнений, преобразование выражений и действия с равенствами. Без этих умений будет трудно правильно раскрывать скобки, переносить слагаемые и находить корни уравнения с одной неизвестной. Поэтому при затруднении полезно определить, какой именно вычислительный шаг вызывает проблему, и повторить соответствующее правило.

Алгебраические методы применяются в задачах, где несколько неизвестных связаны несколькими условиями: например, в задачах о числах, движении или стоимости. Те же приёмы помогают изучать более сложные системы и нелинейные уравнения, в которых встречаются степени неизвестных. Умение выбирать подстановку или сложение позволяет сначала упростить задачу, а затем решать полученные уравнения известными способами.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять всем её уравнениям.
• При подстановке выражение для неизвестной заменяет эту неизвестную в другом уравнении.
• При сложении уравнений выбирают множители так, чтобы коэффициенты одной неизвестной стали противоположными.
• После нахождения одной неизвестной нужно восстановить остальные.
• Каждую найденную пару проверяют в исходной системе.
• Метод решения выбирают по тому, какое преобразование проще выполнить.