§ 2. Поведение функций

Определения и обозначения

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Иначе говоря, для любых x₁ и x₂ из этого промежутка при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Это определение позволяет точно описать подъём графика и сравнивать значения функции без догадок.

Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При x₁ < x₂ тогда выполняется f(x₁) > f(x₂). Понятие убывания помогает определить участки, где увеличение аргумента сопровождается уменьшением результата.

Максимум функции на рассматриваемой области или её части — это её наибольшее значение там. Оно достигается при одном или нескольких значениях аргумента, и ни одно другое значение функции на выбранном участке не должно быть больше. Максимум нужен, например, чтобы ответить, какого наибольшего результата достигает величина, заданная функцией.

Минимум функции на рассматриваемой области или её части — это её наименьшее значение там. Ни в одной другой точке выбранного участка функция не принимает меньшего значения. Поиск минимума помогает находить наименьшую возможную величину, например кратчайшее расстояние или наименьшие затраты в задаче.

Как это устроено

Чтобы определить поведение функции по графику, мысленно двигайся вдоль него слева направо, то есть в сторону увеличения x. Если линия поднимается, значения y становятся больше и функция возрастает; если опускается, функция убывает. Такое направление выбрано потому, что аргумент на координатной плоскости увеличивается именно вправо. При движении справа налево вывод получился бы обратным.

Функцию исследуют на промежутках области определения — множества всех допустимых значений аргумента. На одном участке график может подниматься, а на другом опускаться, поэтому утверждение о поведении на всей области может оказаться неверным. Например, у параболы y = x² левая ветвь убывает, а правая возрастает. Значит, следует указать отдельные промежутки и не включать в них значения x, для которых функция не определена.

Если график сначала поднимается, а затем опускается, в месте перехода он достигает локального максимума: рядом значения функции не больше. Если линия сначала опускается, а потом поднимается, там находится локальный минимум. Такой переход помогает заметить возможный экстремум — точку максимума или минимума на ближайшем участке. Однако наибольшее или наименьшее значение всей функции нужно проверять отдельно.

Точка максимума или минимума — это абсцисса, то есть значение x, при котором достигается экстремум; максимум или минимум — значение y в этой точке. Если вершина графика имеет координаты (−1; 2), то точка максимума равна −1, а значение максимума — 2. Выбирать точку на графике важно, чтобы не перепутать эти ответы. Кроме того, результат зависит от рассматриваемого промежутка: значение может быть наибольшим на одном участке, но за его пределами встретится большее.

Основные характеристики поведения функции

Сначала прочитай по оси x промежутки, на которых меняется направление графика, а затем укажи их в ответе. Для экстремума отдельно запиши абсциссу и ординату: первая будет точкой максимума или минимума, вторая — соответствующим значением функции. Учитывай границы области определения и заданного промежутка.

Разбор задач

1. По графику определить промежутки возрастания и убывания

Условие. По графику функции требуется найти участки возрастания и убывания. Числовые границы нужно считывать с оси x в точках, где меняется направление графика. Без самого графика границы не заданы, поэтому опишем порядок решения.

1. Начинаем с левого края области определения и прослеживаем график вправо.
2. На каждом участке подъёма отмечаем значения x, между которыми функция возрастает.
3. На каждом участке спуска отмечаем значения x, между которыми функция убывает, и проверяем границы области определения.

Ответ. Промежутки записывают с границами, считанными по графику; на подъёмах функция возрастает, на спусках убывает. Если график меняет направление, промежутки указывают отдельно.

2. Функция y = x² − 4

Условие. Найти промежутки монотонности функции и её наименьшее значение. График — парабола, полученная сдвигом y = x² вниз на 4 единицы. Её вершина имеет координаты (0; −4).

1. Ветви параболы направлены вверх, поэтому вершина является нижней точкой графика.
2. Слева от x = 0 при движении к вершине значения y уменьшаются; функция убывает при x ≤ 0.
3. Справа от вершины значения y увеличиваются; функция возрастает при x ≥ 0.
4. Ордината вершины равна −4, поэтому сравнивать значения ниже неё нельзя.

Ответ. Функция убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0; наименьшее значение равно −4 и достигается при x = 0.

3. Максимум и минимум на заданном промежутке

Условие. По графику на указанном промежутке найти максимум, минимум и точки, в которых они достигаются. Числовой график и сам промежуток должны быть заданы в условии. Сравнивать нужно только значения функции, соответствующие аргументам из этого промежутка.

1. Отмечаем границы промежутка и все точки графика между ними, где направление меняется.
2. Считываем значения y в таких точках, а также на границах, если границы входят в промежуток.
3. Сравниваем полученные значения: самое большое будет максимумом, самое маленькое — минимумом.
4. Для каждого найденного значения определяем соответствующую абсциссу — точку, где оно достигается.

Ответ. Максимум и минимум — наибольшее и наименьшее из сравниваемых значений y; точки их достижения — соответствующие значения x. Числовой ответ зависит от заданных графика и промежутка.

Типичные ошибки

Указывают возрастание или убывание, не сверяясь с областью определения. Так бывает, когда промежуток считывают по форме графика, но забывают, что в некоторых точках функция может быть не определена. Проверь, что каждое значение x из записанного промежутка допустимо для функции. Если на графике есть разрыв, не объединяй участки через него без проверки.

Точку экстремума путают со значением экстремума: записывают x вместо y или наоборот. Причина в том, что оба числа считываются из одной точки графика. Чтобы проверить ответ, подпиши: абсцисса — это x и точка экстремума, ордината — y и максимум либо минимум. Для точки (2; 5), например, точка максимума равна 2, а максимум — 5.

Локальный максимум принимают за наибольшее значение функции на всей области. Локальным называют значение, которое превосходит соседние значения, но вдали от него график может подняться выше. Проверяй график на всей области или на всём заданном промежутке, а не только рядом с вершиной. Аналогично локальный минимум не обязательно является общим минимумом.

Направление изменения определяют, двигаясь справа налево. Тогда подъём ошибочно называют убыванием, а спуск — возрастанием, потому что аргумент при таком движении уменьшается. Всегда сначала отметь направление увеличения x на оси, а затем прослеживай график слева направо. Сравнение двух точек тоже помогает проверить вывод: при большем x у возрастающей функции должно быть большее y.

Связь с другими темами

Для чтения поведения функции нужно уметь находить на графике координаты точек и понимать, какие значения аргумента входят в область определения. Эти навыки помогают верно установить границы промежутков и не пропустить разрывы или крайние точки. Понятия возрастания, убывания, максимума и минимума используют при исследовании графиков. Они также нужны в задачах, где требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины.

Что запомнить

• Функцию исследуют на возрастание и убывание на промежутках области определения.
• График возрастающей функции при движении слева направо поднимается.
• График убывающей функции при движении слева направо опускается.
• Максимум и минимум — значения функции, а точки максимума и минимума — значения аргумента.
• Экстремум на части области определения не обязательно является наибольшим или наименьшим значением на всей области.