§ 1. Переменные и функции

Определения и обозначения

Переменная — обозначение величины, которая может принимать разные значения. Обычно её записывают буквой, например x. Это позволяет описывать сразу много случаев, не записывая каждое число отдельно.

Выражение с переменными — запись, значение которой зависит от значений входящих в неё переменных. Например, в выражении 2x + 3 результат меняется вместе с x. Подставив число вместо буквы, можно получить конкретное числовое значение.

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение другой величины. Аргументом обычно называют независимую переменную x, а полученный результат — зависимой переменной y. Такое правило позволяет однозначно находить результат для каждого разрешённого входного значения.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Она показывает, какие числа разрешено подставлять в формулу. Например, число, обнуляющее знаменатель, в область определения дробной функции не входит.

Как это устроено

Чтобы найти значение выражения с переменной, заменяют букву заданным числом и выполняют действия по правилам. Например, при x = 5 выражение 2x + 3 превращается в 2 · 5 + 3 = 13. Если число отрицательное, его удобно заключать в скобки: при x = −2 получаем 2 · (−2) + 3 = −1.

В функциональной зависимости одну величину выбирают независимой, потому что именно её значение задают или изменяют. Её называют аргументом и обозначают, например, x. Другая величина зависит от выбранного аргумента: её значение вычисляют по правилу, поэтому она называется зависимой переменной и часто обозначается y.

Запись y = f(x) объединяет правило и результат его применения. Буква f обозначает саму функцию, x — её аргумент, а f(x) — значение функции при конкретном x; поэтому y и f(x) в этой записи равны. Например, если f(x) = x² − 1, то f(3) = 3² − 1 = 8.

Область определения ограничивается условиями, при которых формула сохраняет смысл. В дроби знаменатель должен быть отличен от нуля, поэтому для f(x) = 1/(x − 2) нельзя брать x = 2. В выражении с квадратным корнем подкоренное выражение должно быть неотрицательным, например для √(x − 1) требуется x ≥ 1.

Значение функции находят в два этапа: сначала проверяют, входит ли заданный аргумент в область определения, а затем подставляют его в формулу. Если нужно проверить, является ли число результатом при определённом аргументе, вычисляют значение функции и сравнивают его с этим числом. Такой порядок помогает не получить ответ из недопустимого вычисления.

Основные обозначения и их смысл

Таблица показывает, какую роль играет каждое обозначение в функциональной зависимости. Сначала найдите аргумент и проверьте его допустимость по области определения, затем примените правило и получите значение функции.

Обозначение D(f) удобно использовать как краткую запись множества разрешённых аргументов. Если выбранное число не принадлежит D(f), вычислять f(x) по данной формуле нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Условие: вычислите значение выражения 3x − 2 при x = 4. Здесь задано одно конкретное значение переменной, поэтому сначала заменяем им букву x. После подстановки выполняем умножение, а затем вычитание.

1. Подставляем 4 вместо x: 3 · 4 − 2.
2. Выполняем умножение: 12 − 2.
3. Вычитаем: 10.

Ответ: значение выражения равно 10. Проверка проста: при увеличении x в три раза сначала получается 12, а вычитание 2 даёт 10.

Задача 2

Условие: для функции f(x) = x² − 1 найдите f(3) и проверьте, является ли −2 значением функции при x = 1. Нужно отдельно вычислить результат для каждого указанного аргумента. Затем второй результат сравним с числом −2.

1. Находим f(3): 3² − 1 = 9 − 1 = 8.
2. Находим значение при x = 1: f(1) = 1² − 1 = 0.
3. Сравниваем 0 и −2: они не равны.

Ответ: f(3) = 8; число −2 не является значением функции при x = 1. Оно могло бы быть значением функции при другом аргументе, но для проверки нужен именно заданный аргумент.

Задача 3

Условие: найдите область определения функции f(x) = 1/(x − 2) и её значение при x = 4. Сначала исследуем знаменатель, потому что деление на ноль невозможно. После этого проверим число 4 и выполним подстановку.

1. Требуем x − 2 ≠ 0, откуда x ≠ 2.
2. Записываем область определения: D(f) = все числа, кроме 2.
3. Число 4 допустимо, поэтому f(4) = 1/(4 − 2) = 1/2.

Ответ: D(f) = {x ∈ R | x ≠ 2}; f(4) = ½. Значение x = 2 исключено, поскольку тогда знаменатель равен нулю.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать x и f(x) одним и тем же. x — входное значение, а f(x) — результат применения правила; чтобы не путаться, мысленно задавайте вопрос: «Что подставляем и что получаем?»

Ошибка 2. Подставлять аргумент не во все вхождения переменной или терять скобки. Это меняет выражение и порядок действий, поэтому после замены перечитайте формулу целиком, особенно если число отрицательное.

Ошибка 3. Считать областью определения все числа без проверки формулы. Так появляется недопустимый нулевой знаменатель или отрицательное выражение под корнем; перед вычислением выпишите ограничения.

Ошибка 4. Путать аргумент с областью определения. Аргумент — одно выбранное допустимое число, а область определения — множество всех таких чисел; обозначьте их отдельно, например x = 4 и D(f) = R без 2.

Связь с другими темами

До изучения функций нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения, соблюдать порядок действий и работать со скобками. Эти навыки позволяют без ошибок находить значения функций и проверять допустимость аргументов.

Понятие функции станет основой для изучения графиков, линейной и квадратичной функций. Оно также помогает описывать зависимости в текстовых задачах, где изменение одной величины связано с изменением другой.

Что запомнить

• Переменная может принимать разные значения.
• Значение выражения зависит от значений входящих в него переменных.
• Функция каждому допустимому аргументу сопоставляет ровно одно значение.
• В записи y = f(x) переменная x — аргумент функции.
• f(x) обозначает значение функции при аргументе x.
• Область определения включает только те значения аргумента, при которых функция имеет смысл.