8. Решение квадратных неравенств

Определения и обозначения

Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другими знаками сравнения, где a ≠ 0. Буквы a, b и c обозначают числа, а x — переменную. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы в выражении действительно присутствовал член с x² и задача оставалась квадратной.

Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. Само выражение ax² + bx + c называют квадратным трёхчленом. Корни нужны, потому что именно в этих точках выражение может обратиться в нуль и сменить знак.

Решение квадратного неравенства — множество всех значений переменной, при которых неравенство верно. Ответом может быть промежуток, несколько промежутков, вся числовая прямая или пустое множество. Так мы записываем не отдельное значение, а все подходящие значения x.

Метод интервалов — способ определить знак квадратного трёхчлена на промежутках, разделённых его корнями. Корни отмечают на числовой прямой, а затем выбирают промежутки с нужным знаком. Этот метод помогает не проверять каждое возможное значение переменной по отдельности.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к стандартному виду ax² + bx + c ⋚ 0: все слагаемые переносят в одну часть и упрощают выражение. Благодаря этому становится ясно, какой именно трёхчлен нужно исследовать. При переносе слагаемого меняется его знак, но знак неравенства остаётся прежним; если же умножить обе части на отрицательное число, знак сравнения нужно перевернуть.

Затем решают уравнение ax² + bx + c = 0 — находят точки, в которых трёхчлен равен нулю. Корни можно получить через дискриминант D = b² − 4ac или разложив выражение на множители. Корни важны не только как кандидаты для границ ответа: переход через корень может изменить знак выражения, поэтому они делят прямую на участки для проверки.

На каждом участке между корнями трёхчлен сохраняет знак. Если бы знак менялся внутри такого участка, непрерывное выражение должно было бы где-то пройти через нуль, а все его нули уже найдены. Поэтому достаточно взять одно удобное пробное значение из каждого промежутка и подставить его в трёхчлен. Полученный знак подходит для всего промежутка.

Когда корней два и они различны, выражение можно записать как a(x − x₁)(x − x₂). Снаружи корней два множителя в скобках имеют одинаковые знаки, поэтому произведение совпадает по знаку с a. Между корнями знаки множителей разные, и произведение имеет знак, противоположный a. Именно поэтому при a < 0 вся схема знаков меняется по сравнению со случаем a > 0.

После определения знаков выбирают те промежутки, где выполняется исходное сравнение. Для строгих знаков > и < точки, в которых выражение равно нулю, не подходят. При знаках ≥ и ≤ нулевые точки тоже удовлетворяют неравенству, поэтому корни включают, если они существуют. В ответе промежутки записывают с круглыми скобками для исключённых границ и квадратными для включённых.

Знак квадратного трёхчлена и решение неравенств

Сначала найди строку по дискриминанту, затем учти знак a и выбери нужный знак сравнения. Таблица показывает строгие неравенства; для нестрогих добавь к подходящим промежуткам корни, если выражение в них равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x² − 5x + 6 > 0. Здесь старший коэффициент положителен, а трёхчлен легко разложить на множители. Это позволит найти границы участков, на которых знак может меняться.

1. Разложим выражение: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), потому что числа 2 и 3 в произведении дают 6, а в сумме — 5.
2. Приравняем множители к нулю: корни равны 2 и 3. Они делят числовую прямую на промежутки x < 2, 2 < x < 3 и x > 3.
3. Так как a = 1 > 0, трёхчлен положителен снаружи корней и отрицателен между ними. Нужен знак > 0, поэтому выбираем внешние промежутки.

Ответ: x < 2 или x > 3. Корни 2 и 3 не включены, поскольку неравенство строгое.

Задача 2. Решить неравенство −2x² + 4x + 6 ≥ 0. Здесь старший коэффициент отрицательный, поэтому трёхчлен будет положителен между двумя корнями. Знак ≥ означает, что значения, обращающие выражение в нуль, тоже подходят.

1. Разложим трёхчлен: −2x² + 4x + 6 = −2(x² − 2x − 3) = −2(x − 3)(x + 1).
2. Найдём корни: x = 3 и x = −1. Запишем их по возрастанию: −1 и 3.
3. Поскольку a = −2 < 0, выражение положительно между корнями и отрицательно снаружи. Для знака ≥ выбираем промежуток между корнями и включаем обе границы, где значение равно нулю.

Ответ: −1 ≤ x ≤ 3. В отличие от строгого неравенства, здесь корни входят в решение благодаря знаку равенства.

Задача 3. Решить неравенство x² + 2x + 5 < 0. Сначала выясним, существуют ли действительные корни: без них нельзя выделить обычные промежутки между точками пересечения с осью x. Знак старшего коэффициента поможет определить, что происходит со всем трёхчленом.

1. Вычислим дискриминант: D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
2. Так как D < 0, действительных корней нет, а трёхчлен нигде не равен нулю. При a = 1 > 0 его знак на всей числовой прямой положительный.
3. Неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, но оно всегда положительно. Значит, подходящих значений x нет.

Ответ: решений нет, или ∅.

Типичные ошибки

Одна ошибка — не привести неравенство к стандартному виду или неверно поменять знаки у перенесённых слагаемых. Так исходный трёхчлен подменяется другим, и даже правильно найденные корни не дадут верного ответа. Это часто происходит, когда переносят слагаемое, не меняя его знак. Проверь себя: подставь найденные корни в выражение, полученное после переноса, и сравни результат с исходной записью.

При отрицательном старшем коэффициенте иногда оставляют схему знаков для a > 0. Это удобно запомнить неверно, если смотреть только на расположение корней и забыть о множителе a. Проверь знак пробным числом снаружи корней: он должен совпасть со знаком a. Между корнями знак будет противоположным.

Корни могут ошибочно включить в ответ при строгом неравенстве или исключить при нестрогом. Причина — невнимание к знаку сравнения в исходном условии. Подставь корень: в нём трёхчлен равен нулю, поэтому ноль подходит для ≥ и ≤, но не подходит для > и <. Границы ответа должны соответствовать этому правилу.

Отрицательный дискриминант иногда принимают за признак отсутствия решения любого неравенства. Но D < 0 означает только, что действительных корней нет; знак трёхчлена при этом зависит от a. Если требуется, например, выражение больше нуля и a > 0, подходит вся прямая. Проверь себя: сначала установи знак a, а затем сравни его с нужным знаком неравенства.

Связь с другими темами

Для решения квадратных неравенств нужно уметь решать квадратные уравнения, находить дискриминант и раскладывать трёхчлен на множители. Тема связана с графиком квадратичной функции: выражение положительно там, где парабола расположена выше оси x, и отрицательно там, где она ниже. Например, график y = x² − 4 пересекает ось x при x = −2 и x = 2: трёхчлен положителен снаружи корней и отрицателен между ними.

Что запомнить

• Перед решением приведи неравенство к виду ax² + bx + c ⋚ 0.
• Старший коэффициент a не должен быть равен нулю.
• Корни уравнения делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.
• При двух корнях знак снаружи совпадает со знаком a, а между корнями противоположен.
• Корни включают в ответ только при нестрогом знаке ≥ или ≤.
• Если D < 0, трёхчлен сохраняет знак a на всей числовой прямой.