Дробные рациональные уравнения

Определения и обозначения

Дробное рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе одной или нескольких дробей. Например, в уравнении 3/x = 2 переменная x находится в знаменателе. В целых рациональных уравнениях переменная не стоит в знаменателе: там встречаются только суммы, разности и произведения переменной и чисел.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменной, при которых все знаменатели уравнения не равны нулю. Чтобы её найти, каждый знаменатель приравнивают к нулю и исключают полученные значения. Например, для знаменателя x − 1 условие ОДЗ — x ≠ 1.

Общий знаменатель — выражение, кратное каждому знаменателю дробей в уравнении. Он нужен, чтобы умножить на него обе части и избавиться от дробей. Удобно выбирать наименьшее выражение, в которое входят все множители исходных знаменателей.

Посторонний корень — значение, полученное в ходе решения, но не удовлетворяющее исходному уравнению или его ОДЗ. Например, оно может обращаться в ноль в знаменателе, хотя появилось среди корней уравнения без дробей. Поэтому найденные значения нельзя автоматически записывать в ответ.

Как это устроено

Решение начинают с ОДЗ, потому что при нулевом знаменателе дробь не имеет значения. Если не исключить такие числа заранее, при преобразованиях можно потерять ограничение исходного уравнения и ошибочно включить запрещённое число в ответ. ОДЗ отмечает значения, с которыми можно работать дальше.

Когда ОДЗ найдена, выбирают общий знаменатель и умножают на него обе части уравнения. При этом множитель нужно распределить по каждому слагаемому слева и справа: знаменатели сокращаются, если они являются множителями общего знаменателя. Преобразование сохраняет равносильность на ОДЗ, потому что там общий знаменатель не равен нулю; умножение обеих частей на ненулевое число не меняет множество решений.

После избавления от знаменателей уравнение часто становится проще: дроби исчезают, а оставшиеся выражения можно привести к линейному или квадратному уравнению. Например, в уравнении с x − 1 и x + 1 общий знаменатель равен (x − 1)(x + 1), то есть x² − 1. При выборе знаменателя учитывают разложение на множители: достаточно взять все разные множители в нужных степенях, а не перемножать знаменатели без упрощения.

Полученное уравнение решают обычными способами, но его корни пока считают кандидатами. Умножение на выражение с переменной может привести к корням, при которых это выражение равно нулю; такие значения не допустимы для исходного уравнения. Проверка в исходном уравнении или сопоставление с ОДЗ показывает, какие кандидаты действительно подходят.

В ответ включают только значения, которые принадлежат ОДЗ и удовлетворяют исходному равенству. Если корень нарушает хотя бы одно из этих условий, его отбрасывают. Такой порядок помогает не перепутать решения уравнения после преобразования с решениями исходной задачи.

Этапы решения дробного рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, когда выполнил предыдущий. Особенно внимательно проверяй ОДЗ до умножения и корни после решения. Так проще заметить недопустимое значение и не включить его в ответ.

Разбор задач

1. Решите уравнение 3/x = 2.

1. Знаменатель x не должен быть равен нулю, поэтому ОДЗ: x ≠ 0.
2. Умножаем обе части на x. Получаем 3 = 2x, откуда x = 3/2.
3. Проверяем: 3/2 принадлежит ОДЗ, а 3/(3/2) = 2. Значит, значение подходит исходному уравнению.

Ответ: x = 3/2.

2. Решите уравнение 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 1.

1. Знаменатели не равны нулю при x ≠ 1 и x ≠ −1. Значит, ОДЗ: x ≠ ±1.
2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1) = x² − 1. Умножаем на него каждый член уравнения: (x + 1) + (x − 1) = x² − 1.
3. Упрощаем: 2x = x² − 1, поэтому x² − 2x − 1 = 0. По формуле корней получаем x = 1 ± √2.
4. Оба корня не равны 1 и −1, значит, принадлежат ОДЗ. Подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство.

Ответ: x = 1 − √2; x = 1 + √2.

3. Решите уравнение 1/(x − 2) + 1/(x + 2) = 4/(x² − 4).

1. Разложим знаменатель: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Поэтому ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −2.
2. Общий знаменатель — x² − 4. Умножаем на него все слагаемые: (x + 2) + (x − 2) = 4.
3. После упрощения получаем 2x = 4, откуда x = 2. Это значение не входит в ОДЗ, потому что обращает знаменатель в ноль.
4. Следовательно, полученный корень посторонний. Исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

Типичные ошибки

Не найти ОДЗ до преобразований — значит, оставить среди возможных ответов значения, при которых дробь не определена. Так часто случается, когда ученик спешит убрать знаменатели и забывает об ограничениях. Проверяй каждый исходный знаменатель: приравняй его к нулю и исключи найденные числа.

При умножении на общий знаменатель иногда умножают только дроби, но не все слагаемые обеих частей. В результате получается уже другое уравнение, хотя внешне преобразование кажется похожим. Проверяй себя: каждый член по обе стороны знака равенства должен быть умножен на один и тот же общий знаменатель.

Неверное сокращение или раскрытие скобок меняет уравнение. Сокращать разрешено только общие множители числителя и знаменателя, но не отдельные слагаемые; при раскрытии скобок учитывай знаки. Чтобы проверить вычисления, сначала разложи знаменатели на множители, а затем аккуратно запиши умножение каждого члена.

Если принять все корни преобразованного уравнения за ответ, можно оставить посторонний корень. Он появляется, например, когда найденное значение обращает исходный знаменатель в ноль. Сверь каждый корень с ОДЗ, а если сомневаешься — подставь его в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения этой темы нужны умения находить нули выражений и раскладывать многочлены на множители: это помогает находить ОДЗ и общий знаменатель. Также пригодятся способы решения линейных и квадратных уравнений, потому что именно к ним часто сводятся уравнения с дробями. Освоенный порядок действий используют при решении рациональных уравнений и неравенств, а также при исследовании рациональных выражений.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ исходного уравнения.
• Знаменатели исходного уравнения не должны обращаться в ноль.
• Для устранения дробей умножь обе части на общий знаменатель.
• При умножении преобразуй каждый член уравнения.
• Реши полученное уравнение и проверь найденные значения.
• В ответ включай только корни, допустимые в исходном уравнении.