§ 3. Сложение и умножение числовых неравенств

Определения и обозначения

Сумма числовых неравенств — новое неравенство, полученное сложением соответствующих частей двух неравенств одного направления. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Такое правило позволяет объединять два сравнения и получать оценку для суммы выражений.

Умножение неравенства на положительное число — умножение обеих его частей на одно и то же число, большее нуля. Например, из a < b и k > 0 следует ak < bk. Знак сохраняется, поэтому этим действием удобно получать равносильные оценки в более простом виде.

Умножение неравенства на отрицательное число — умножение обеих частей на число меньше нуля с обязательной заменой знака на противоположный. Например, из a < b и k < 0 следует ak > bk. Это правило нужно, чтобы сравнение оставалось верным после действия, которое обращает порядок чисел.

Произведение числовых неравенств — результат почленного умножения двух сравнений, когда все их части положительны. Из a > b > 0 и c > d > 0 следует ac > bd. Условие о положительности помогает не перепутать порядок произведений и получить корректную оценку.

Как это устроено

Пусть a > b и c > d. Вычитание правой части из левой показывает, что a − b > 0 и c − d > 0. При сложении этих разностей получается положительное число: (a − b) + (c − d) > 0. После раскрытия скобок имеем (a + c) − (b + d) > 0, а значит, a + c > b + d. Поэтому складывают именно левые части между собой и правые — между собой.

Если к обеим частям неравенства a > b прибавить одно число k, то разность новых частей равна (a + k) − (b + k) = a − b. Она остаётся положительной, потому что исходно a − b > 0. Значит, порядок чисел не изменился и a + k > b + k. Это частный случай сложения: к неравенству можно прибавить равные части, например k > k.

Пусть a > b и k > 0. Тогда a − b > 0, а произведение k(a − b) тоже положительно, так как произведение двух положительных чисел положительно. Раскрыв скобки, получаем ak − bk > 0, то есть ak > bk. На числовой прямой умножение на положительное число растягивает расстояния от нуля, но не меняет расположение чисел относительно друг друга.

Если k < 0, то из a > b следует a − b > 0, но k(a − b) < 0. После раскрытия скобок это означает ak − bk < 0, то есть ak < bk. Следовательно, при умножении на отрицательное число знак необходимо перевернуть. Например, умножение чисел на −1 отражает их на противоположную сторону нуля и меняет их порядок.

Для почленного умножения пусть a > b > 0 и c > d > 0. Из a > b при умножении на положительное c получаем ac > bc, а из c > d при умножении на положительное b — bc > bd. Значит, ac > bc > bd, откуда ac > bd. Положительность важна: например, из 2 > 1 и −1 > −2 не следует 2 · (−1) > 1 · (−2), потому что −2 < −2 неверно; порядок при умножении на отрицательные числа требует отдельного учёта.

Правила сложения и умножения числовых неравенств

Сначала найди нужное действие в первом столбце, затем проверь условия во втором. Только после этого записывай результат: именно условия определяют, можно ли сохранить знак или нужно его изменить.

Разбор задач

Задача 1. Сложить неравенства 7 > 3 и 5 > 2. Оба сравнения направлены одинаково: в каждом случае большее число стоит слева. Поэтому можно применить правило сложения неравенств одного направления и сложить соответствующие части.

1. Складываем левые части: 7 + 5 = 12.
2. Складываем правые части: 3 + 2 = 5.
3. Оставляем знак >, поскольку направления исходных неравенств совпадают.

Ответ: 12 > 5. Проверка показывает, что полученное сравнение верно, а обе части сложены почленно.

Задача 2. Из неравенства −4 < 6 получить результат после умножения обеих частей на −3. Здесь множитель отрицательный, поэтому нельзя просто умножить числа и оставить прежний знак. Сначала определяем знак множителя, а затем выполняем умножение.

1. Умножаем левую часть: (−4) · (−3) = 12.
2. Умножаем правую часть: 6 · (−3) = −18.
3. Меняем знак < на противоположный знак >, потому что множитель −3 отрицателен.

Ответ: 12 > −18. Это сравнение верно: положительное число 12 больше отрицательного числа −18.

Задача 3. По неравенствам 8 > 5 и 6 > 2 получить оценку для произведения 8 · 6. Требуется оценить произведение чисел, стоящих слева, поэтому рассматриваем почленное умножение. Перед этим проверяем условие: 8, 5, 6 и 2 положительны.

1. Записываем исходные сравнения: 8 > 5 > 0 и 6 > 2 > 0.
2. Перемножаем соответствующие левые и правые части: 8 · 6 > 5 · 2.
3. Вычисляем произведения: 48 > 10.

Ответ: 8 · 6 > 5 · 2, то есть 48 > 10. Мы получили нижнюю оценку для произведения 8 · 6, поскольку его множители больше соответствующих положительных чисел 5 и 2.

Типичные ошибки

При умножении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Это происходит, если ориентироваться только на умножение частей и забыть, что отрицательный множитель переворачивает порядок. Проверь знак множителя до вычислений: если он меньше нуля, замени < на > или наоборот. После этого можно проверить ответ на числовой прямой.

Другая ошибка — перемножать неравенства, не проверив знаки всех частей. Ученик может запомнить форму правила, но применить её к отрицательным числам, для которых рассуждение о произведении уже не подходит. Перед перемножением выпиши все четыре числа и установи, что каждое больше нуля. Если условие не выполнено, используй другие правила или разбери знаки отдельно.

Иногда складывают неравенства с разными направлениями, например одно со знаком >, а другое со знаком <. Это делают, потому что складывают видимые части, не проверив условия правила. Сначала приведи сравнения к одному направлению, при необходимости поменяв местами части одного из них и знак. Затем сложи левые части друг с другом и правые — друг с другом.

Нельзя складывать или перемножать только левые части либо только правые, забывая вторую сторону сравнения. Такая запись не показывает отношения между двумя полученными выражениями. Выполняй действие почленно: отдельно над левыми частями и отдельно над правыми. Для самопроверки подпиши над результатом, из каких исходных частей он получен, и убедись, что обе стороны обработаны одинаково.

Связь с другими темами

Для работы с неравенствами нужны умение сравнивать числа и правила действий с положительными и отрицательными числами. В частности, важно понимать, как знак произведения зависит от знаков множителей. Эти знания позволяют правильно оценивать выражения и доказывать неравенства, объединяя несколько известных сравнений. Далее правила пригодятся при изучении систем неравенств и задач с числовыми оценками.

Что запомнить

• При сложении неравенств одного направления их складывают почленно.
• Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак неравенства.
• Умножение на положительное число сохраняет знак.
• Умножение на отрицательное число меняет знак на противоположный.
• Почленно перемножать неравенства можно, если все их части положительны.
• Перед применением правила всегда проверяй условия на знаки чисел.