"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Числовые неравенства помогают сравнивать числа и находить границы значений выражений. Если прибавить к обеим частям одно и то же число или сложить неравенства одного направления, порядок сравнения сохранится. Умножение на положительное число тоже сохраняет знак, а умножение на отрицательное меняет его на противоположный. Чтобы перемножать неравенства, нужно учитывать знаки всех чисел: например, произведения можно сравнить почленно, если обе пары чисел положительны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Например, запись 4 < 7 верна, потому что число 4 меньше числа 7. Истинность неравенства определяется именно сравнением значений, а не тем, как записаны числа или выражения. Умение распознавать верные неравенства нужно, чтобы правильно применять к ним преобразования.
Сложение числовых неравенств — почленное сложение неравенств одного направления. Левые части складывают между собой, а правые — между собой: из a > b и c > d получают a + c > b + d. Это правило позволяет объединить сведения о нескольких числах, например найти границы суммы переменных. Направление знаков должно совпадать.
Умножение числового неравенства на положительное число означает, что обе его части умножают на одно и то же число больше нуля. Например, если a > b и c > 0, то ac > bc. Направление знака при этом остаётся прежним. Правило помогает переходить от простой оценки к оценке выражения, в котором числа умножаются.
Умножение числового неравенства на отрицательное число — умножение обеих частей на одно и то же число меньше нуля. При этом знак неравенства заменяют противоположным: если a > b и c < 0, то ac < bc. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Это правило нужно помнить при преобразовании неравенств, чтобы не изменить их смысл.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет, какая часть больше. Например, если a > b, то разность a − b положительна. После прибавления числа c получаем разность (a + c) − (b + c), которая равна a − b, поскольку слагаемые c сокращаются. Значит, разность остаётся положительной, и a + c > b + c.
При сложении неравенств одного направления сохраняется общее направление сравнения. Если a > b, то разность a − b положительна; если c > d, то положительна разность c − d. Разность между левой и правой частями суммы равна (a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d). Сумма двух положительных чисел положительна, поэтому a + c > b + d.
При умножении на число c > 0 разность частей a − b умножается на положительное число и остаётся положительной. Поэтому из a > b следует ac > bc. Если же c < 0, произведение положительной разности a − b на c становится отрицательным: ac − bc = c(a − b) < 0. Это означает, что ac < bc, поэтому знак приходится менять на противоположный.
Чтобы получить ac > bd из a > b и c > d, недостаточно просто перемножить записанные части: нужны условия, что все четыре числа положительны. Сначала из a > b умножением на c > 0 получаем ac > bc. Затем из c > d умножением на b > 0 получаем bc > bd. Складываем эти неравенства почленно: ac + bc > bc + bd; после вычитания bc из обеих частей выходит ac > bd.
Без условий на знаки нельзя надёжно сравнить произведения по отдельным множителям. При умножении положительное число сохраняет порядок, а отрицательное обращает его; кроме того, знак произведения зависит от знаков множителей. Например, из 3 > 2 и −1 > −2 не следует, что 3 · (−1) > 2 · (−2): на самом деле −3 < −4 неверно. Поэтому перед сравнением произведений проверяют знаки всех чисел.
| Действие и условия | Результат | Что происходит со знаком |
|---|---|---|
| Прибавить одно и то же число к обеим частям | a > b, тогда a + c > b + c | Не меняется |
| Сложить неравенства одного направления | a > b и c > d, тогда a + c > b + d | Сохраняется общее направление |
| Умножить обе части на положительное число | a > b и c > 0, тогда ac > bc | Не меняется |
| Умножить обе части на отрицательное число | a > b и c < 0, тогда ac < bc | Меняется на противоположный |
| Перемножить два неравенства | a > b > 0 и c > d > 0, тогда ac > bd | Направление сохраняется при условии положительности всех чисел |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое действие выполняется, и проверьте указанные условия. Затем примените результат и отдельно проследите за направлением знака. Особенно внимательно проверяйте знаки чисел при умножении.
Известно, что x > 3. Нужно установить, какие значения может принимать выражение x + 5. Поскольку к переменной прибавляется известное число, удобно прибавить 5 к обеим частям исходного неравенства. Это сохранит направление сравнения.
Записываем исходное условие: x > 3. Число 5 одинаково для обеих частей, поэтому применяем правило прибавления одного числа. Знак не меняется.
Прибавляем 5 слева и справа: x + 5 > 3 + 5. Вычисляем правую часть и получаем x + 5 > 8. Значит, выражение больше 8.
Ответ: x + 5 > 8.
Даны границы 2 < a < 5 и 1 < b < 4. Для нижней границы суммы берём нижние оценки a > 2 и b > 1, а для верхней — верхние оценки a < 5 и b < 4. В каждой паре направления совпадают, поэтому оценки можно сложить почленно.
Складываем нижние границы: из a > 2 и b > 1 следует a + b > 2 + 1. Получаем a + b > 3. Это показывает, что сумма больше 3.
Отдельно складываем верхние границы: из a < 5 и b < 4 следует a + b < 5 + 4. Получаем a + b < 9. Так находится верхняя граница суммы.
Объединяем две полученные оценки в двойное неравенство. Нижняя граница стоит слева, а верхняя — справа. Получаем 3 < a + b < 9.
Ответ: 3 < a + b < 9.
Известно, что 2 < a < 5 и 3 < b < 6. Все числа в границах положительны, следовательно, a и b тоже положительны. Это позволяет сравнивать произведения соответствующих нижних и верхних границ без изменения направления знака. Проверка положительности здесь необходима до умножения.
Для нижней границы используем a > 2 и b > 3. Умножая первое неравенство на положительное b, получаем ab > 2b. Умножая b > 3 на положительное 2, получаем 2b > 6; вместе отсюда следует ab > 6.
Для верхней границы используем a < 5 и b < 6. Так как b положительно, умножение a < 5 на b даёт ab < 5b. А из b < 6 после умножения на положительное 5 следует 5b < 30.
Из двух последовательных сравнений получаем ab < 30. Объединяем нижнюю и верхнюю оценки: произведение больше 6 и меньше 30. Так учитываются обе заданные границы.
Ответ: 6 < ab < 30.
Ошибка: складывать неравенства противоположных направлений как есть. Так делают, потому что складывают левые и правые части, не проверяя знаки; однако правило требует одинакового направления, иначе разности могут не быть обе положительными. Перед сложением сравните стрелки знаков, а при необходимости перепишите, например, a < b как b > a.
Ошибка: при умножении на отрицательное число оставить знак прежним. Это происходит, если запомнить только действие над частями и забыть о порядке чисел: умножение на отрицательное меняет его на противоположный. Проверьте себя на простом примере 2 < 5: после умножения на −1 должно получиться −2 > −5.
Ошибка: перемножать неравенства, не проверив знаки чисел. Одни и те же знаки сравнения у исходных неравенств ещё не гарантируют нужный порядок произведений, потому что знак зависит от множителей. Перед выводом выпишите, какие числа положительны, отрицательны или могут быть нулём. Если подходящих условий нет, не применяйте правило для положительных чисел.
Ошибка: считать, что из a > b и c > d всегда следует ac > bd. Такой вывод верен, например, если a > b > 0 и c > d > 0, но не во всех случаях. Проверяйте знак каждого числа и умножайте неравенство только на число с известным знаком. Для самопроверки можно подставить конкретные значения, удовлетворяющие исходным условиям.
Для работы с неравенствами нужно уметь сравнивать числа и преобразовывать записи, сохраняя их истинность. Особенно важно помнить правило умножения или деления на отрицательное число: при этом знак меняется на противоположный. Эти знания помогают не допускать ошибок при переходе от одной формы неравенства к другой.
Сложение и умножение неравенств используют, когда требуется оценить выражение или доказать, что одно выражение больше другого. Например, известные границы переменных позволяют получить границы их суммы или произведения. Такие приёмы встречаются в задачах с диапазонами возможных значений и в доказательствах неравенств.
Можно ли складывать неравенства, если они направлены в разные стороны?
Напрямую правило почленного сложения применяют к неравенствам одного направления. Если направления разные, сначала перепишите одно неравенство так, чтобы оба знака смотрели в одну сторону, если это возможно. Например, из a < b можно получить b > a.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный. Например, 2 < 5, но после умножения на −1 получаем −2 > −5. Поэтому при умножении обеих частей на отрицательное число знак нужно перевернуть.
Можно ли перемножать любые два верных неравенства?
Нет, без дополнительных условий это может дать неверный вывод. При умножении знаки исходных чисел влияют на знаки и порядок произведений. Поэтому сначала нужно проверить, положительны ли числа или известны ли другие подходящие условия.
Какие условия нужны, чтобы перемножить два неравенства почленно?
Достаточно, например, чтобы выполнялись a > b > 0 и c > d > 0. Тогда все числа положительны, а почленное умножение даёт ac > bd. Положительность нужна, чтобы уверенно сохранить направление сравнения при умножении.
Как получить оценку суммы или произведения, если известны границы переменных?
Для суммы складывают нижние границы между собой и верхние границы между собой. Для произведения сначала проверяют знаки переменных и границ; если все числа положительны, нижние и верхние границы можно перемножить соответственно. Затем записывают полученную двойную оценку.
30. Сложение и умножение числовых неравенств
