§ 2. Основные свойства числовых неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это запись, в которой сравнивают два числа или числовых выражения. Знак a > b означает, что a больше b, а a < b — что a меньше b. Знаки a ≥ b и a ≤ b включают возможность равенства: например, a ≥ b означает «a больше или равно b». Понимание этих обозначений нужно, чтобы читать условия и выбирать верное преобразование.

Одноимённые неравенства — это неравенства с одинаковым знаком сравнения: например, a < b и c < d. Если оба знака направлены одинаково, можно сопоставить левые части друг с другом, а правые — друг с другом. Это позволяет сложить неравенства и получить новую верную оценку. Неравенства с разными знаками так складывать по этому правилу нельзя.

Почленное сложение неравенств — переход от двух неравенств к неравенству, в котором сложены их соответствующие левые и правые части. Например, из a < b и c < d получается a + c < b + d. Слово «почленно» напоминает, что левую часть складывают с левой, а правую — с правой. Правило помогает объединять две известные оценки в одну.

Равносильные неравенства — неравенства, у которых совпадают множества решений. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак сравнения обязательно меняют на противоположный. Тогда преобразование сохраняет те же решения, хотя запись неравенства меняется. Это правило особенно важно при решении неравенств с переменной.

Как это устроено

Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет порядок, потому что числа сдвигаются на одинаковое расстояние по числовой прямой. Если точка a расположена правее точки b, то после одинакового сдвига вправо или влево она всё равно будет правее. Поэтому из a > b следует a + c > b + c при любом числе c. Вычитание одного числа равносильно прибавлению противоположного, так что знак тоже не меняется.

Если обе части умножить на положительное число, расстояние между соответствующими точками изменится, но их порядок останется прежним. Например, умножение на 2 растягивает числовую прямую вдвое, не меняя того, какое число расположено левее. При умножении на отрицательное число происходит ещё и отражение относительно нуля: положительные числа становятся отрицательными, а направление «правее — левее» переворачивается. Поэтому знак меняют на противоположный; деление подчиняется тому же правилу, поскольку деление на число равносильно умножению на обратное ему.

Складывать почленно можно два верных неравенства одного знака. Например, если a < b и c < d, то к меньшей величине a прибавляется c, а к большей b — d; поскольку c меньше d, итоговая сумма слева останется меньше суммы справа. В результате получаем a + c < b + d. Важно складывать именно соответствующие части, а не левую часть одного неравенства с правой частью другого.

Для положительных чисел переход к обратным величинам меняет порядок: если a > b > 0, то 1/a < 1/b. Это можно понять так: единицу делят на числа разной величины, и при большем положительном делителе частное получается меньше. Условие b > 0 также гарантирует, что оба числа положительны и обратные величины определены. Если среди чисел есть ноль или они имеют разные знаки, делать такой вывод по этому правилу нельзя.

Равносильные преобразования сохраняют множество решений, поэтому их используют, чтобы привести неравенство к удобному виду. Прибавление или вычитание одного и того же числа, а также умножение на положительное число позволяют упростить выражение без изменения знака. Если множитель отрицательный, смена знака компенсирует отражение порядка. Когда знак множителя неизвестен, сначала нужно определить его или рассмотреть отдельные случаи.

Основные свойства числовых неравенств

Сначала найди в таблице действие, которое собираешься выполнить, затем проверь его условия. Если условие не выполнено или знак числа неизвестен, правило нельзя применять без дополнительного разбора. Особенно внимательно проверяй знак при умножении и делении.

Разбор задач

Задача 1. Известно, что 7 > 3. Сравните 7 − 5 и 3 − 5. Нужно понять, меняется ли знак при вычитании одного и того же числа. Применим свойство к обеим частям исходного неравенства.

1. Вычитаем 5 из левой и правой частей: 7 − 5 и 3 − 5.
2. Число вычитается одинаковое, поэтому знак > сохраняется: 7 − 5 > 3 − 5.
3. Проверяем вычислением: 2 > −2, это верно.

Ответ: 7 − 5 > 3 − 5.

Задача 2. Решите неравенство −4x > 12. Чтобы оставить x, нужно разделить обе части на −4. Делитель отрицательный, значит порядок изменится на противоположный.

1. Делим обе части на −4 и меняем знак > на <: x < 12/(−4).
2. Вычисляем частное: 12/(−4) = −3.
3. Получаем множество решений: все числа, меньшие −3. Проверка, например, при x = −4 даёт 16 > 12.

Ответ: x < −3.

Задача 3. Известно, что 5 < 8 и 2 < 6. Сравните 5 + 2 и 8 + 6, затем сравните 1/5 и 1/8. Сначала применим сложение к неравенствам одного знака, затем отдельно проверим условие для обратных величин. Здесь все числа 5 и 8 положительны.

1. Складываем левые части и правые части: 5 + 2 < 8 + 6.
2. Получаем 7 < 14, поэтому сравнение сумм верно.
3. Для обратных величин используем 8 > 5 > 0: порядок меняется, поэтому 1/8 < 1/5.

Ответ: 5 + 2 < 8 + 6; 1/5 > 1/8.

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак неравенства. Так происходит, если механически повторять правило для положительного числа; например, из 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5. Проверяй знак множителя и обязательно меняй знак сравнения. Быстрая проверка — подставить простые числа и убедиться, что порядок действительно развернулся.

Если умножают на число с неизвестным знаком, нельзя сразу выбирать, сохранить знак или изменить его. Часто забывают, что переменная может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Сначала выясни её знак по условию, а если это невозможно — рассмотри случаи отдельно. В случае нуля умножение превращает обе части в равные нулю.

При почленном сложении ошибочно складывают неравенства разных знаков или соединяют несоответствующие части. Причина — невнимание к тому, что правило опирается на одинаковое направление знаков и сложение левой части с левой. Перед вычислением проверь, что знаки совпадают, и запиши суммы в виде a + c и b + d. Если условия правила не выполнены, такой вывод делать нельзя.

Переход к обратным величинам без проверки положительности может привести к неверному выводу. Например, при отрицательных числах порядок обратных величин ведёт себя иначе, а для нуля обратная величина вообще не определена. Перед применением свойства запиши условие a > b > 0 или проверь, что оба числа положительны. Если это не так, используй другой способ сравнения.

Связь с другими темами

Для работы со свойствами нужно уметь сравнивать числа и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Особенно важно понимать, где числа расположены на числовой прямой и как меняется знак произведения. Эти знания позволяют не только запоминать правила, но и объяснять их.

Свойства числовых неравенств применяют при преобразовании и решении линейных неравенств. Например, чтобы выразить переменную, обе части умножают или делят на одно и то же число, предварительно учитывая его знак. Те же правила помогают доказывать неравенства и получать новые оценки из уже известных.

Что запомнить

• Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак.
• Умножение или деление на положительное число сохраняет знак.
• Умножение или деление на отрицательное число меняет знак на противоположный.
• Одноимённые неравенства можно складывать почленно.
• При переходе к обратным величинам положительных чисел порядок меняется.
• Перед преобразованием выясняй знак числа, на которое умножаешь или делишь.