§ 1. Числовые неравенства

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знака «больше» или «меньше». Запись a > b истинна, если число a действительно больше числа b; запись a < b истинна, если a меньше b. Так можно коротко сообщить результат сравнения и указать, какое из чисел занимает более высокое место в числовом порядке.

Строгое неравенство записывают со знаками > или <. Оно утверждает, что одно число именно больше или меньше другого, а равенство исключается. Строгий знак нужен, когда граница не входит в рассматриваемое сравнение.

Нестрогое неравенство используют со знаками ≥ или ≤. Например, a ≥ b означает, что a больше b либо равно ему, а a ≤ b — что a меньше b либо равно ему. Такой знак удобен, когда возможны значения на самой границе.

Противоположные неравенства получаются, если поменять сравниваемые числа местами и одновременно заменить знак > на < или наоборот. Например, записи a > b и b < a выражают одно и то же сравнение. Это помогает переписать неравенство в удобном порядке, не меняя его смысла.

Как это устроено

Сравнивать числа можно по их расположению на координатной прямой: каждое число соответствует точке, а движение вправо означает увеличение. Поэтому точка, расположенная правее другой, соответствует большему числу. Такой способ работает и для отрицательных чисел: например, −2 правее −5, значит, −2 > −5.

Сравнение связано с разностью чисел. Если a > b, то после вычитания b из обоих чисел видно, что a − b больше нуля; если a < b, то разность a − b меньше нуля. Обратно, знак разности позволяет установить порядок чисел, поэтому для проверки сравнения часто достаточно вычислить a − b.

Если прибавить одно и то же число к обеим частям, взаимное расположение чисел не изменится. На координатной прямой обе точки сдвинутся на одинаковое расстояние вправо или влево, и та, что была правее, останется правее. Поэтому из a > b следует a + c > b + c при любом c.

Умножение на положительное число растягивает расстояние от нуля или сжимает его, но не меняет порядок чисел. Умножение на отрицательное число дополнительно отражает точки относительно нуля, из-за чего порядок становится обратным: из a > b следует −a < −b. При делении действует такое же правило, если делитель не равен нулю.

Если два неравенства направлены одинаково, их можно сложить почленно: из a > b и c > d следует a + c > b + d. Также можно сравнить крайние числа в цепочке: из a > b и b > c следует a > c, потому что a больше промежуточного b, а b больше c. Для строгого вывода средний член должен быть общим, а оба сравнения — направлены одинаково.

Основные свойства числовых неравенств

В таблице собраны действия, которые можно выполнять с неравенствами, и условия, при которых знак сохраняется или меняется. Перед применением свойства проверь направление знаков и, если выполняешь деление, убедись, что делитель не равен нулю. Используй строку, соответствующую своему действию.

Разбор задач

Сравнить 3,7 и 3,65

Нужно определить, какое число больше, и обосновать сравнение. У дробей одинаковая целая часть — 3, поэтому достаточно сравнить дробные части. Чтобы удобнее увидеть разрядные цифры, запишем 3,7 в виде 3,70.

1. Допишем ноль справа: 3,7 = 3,70.
2. Сравним сотые: 70 сотых больше 65 сотых.
3. Значит, 3,70 > 3,65, а потому 3,7 > 3,65.

Ответ: 3,7 > 3,65.

Известно, что x < 4. Сравнить x + 6 и 10

В условии дана граница для x, а в выражении к x прибавлено 6. Чтобы получить сравнение для выражения, выполним такое же действие с обеими частями исходного неравенства. Прибавление одного числа не изменит направление знака.

1. Запишем исходное неравенство: x < 4.
2. Прибавим 6 к обеим частям: x + 6 < 4 + 6.
3. Вычислим правую часть: 4 + 6 = 10.

Ответ: x + 6 < 10.

Известно, что −2 < a < 5. Оценить выражение −3a + 1

Это двойное неравенство задаёт нижнюю и верхнюю границы для a. Сначала преобразуем все три его части умножением на −3; поскольку множитель отрицательный, направление каждого знака изменится. Затем прибавим 1 ко всем частям, чтобы получить границы именно для выражения −3a + 1.

1. Умножим −2 < a < 5 на −3 и перевернём знаки: 6 > −3a > −15.
2. Запишем границы в возрастающем порядке: −15 < −3a < 6.
3. Прибавим 1 к каждой части: −14 < −3a + 1 < 7.

Ответ: −14 < −3a + 1 < 7.

Типичные ошибки

При умножении обеих частей на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает потому, что правило для положительного множителя переносят на отрицательный, не учитывая отражение чисел относительно нуля. Проверь себя на примере 2 < 5: после умножения на −1 верно −2 > −5.

При прибавлении одного и того же числа к обеим частям иногда меняют знак неравенства. Это происходит из-за смешения правила сложения с правилом умножения на отрицательное число. Проверка простая: из 2 < 5 получается 2 + 3 < 5 + 3, то есть 5 < 8, знак сохранился.

Неверно считать, что из a > b следует −a > −b. При умножении на −1 знак обязательно меняется, поэтому верно −a < −b. Чтобы убедиться в этом, подставь конкретные числа, например a = 4 и b = 1: −4 < −1.

Нельзя без обоснования складывать неравенства разных направлений. Правило почленного сложения применяют к двум неравенствам, у которых знаки смотрят в одну сторону, иначе итоговое сравнение может не следовать из исходных условий. Перед сложением проверь оба знака и при необходимости перепиши неравенства в подходящем виде.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел нужны знания о целых, рациональных и действительных числах, а также умение выполнять действия с отрицательными числами. Эти навыки помогают правильно применять свойства неравенств и преобразовывать их без потери смысла. Позже те же правила понадобятся при решении линейных неравенств и их систем.

Оценка выражений позволяет находить границы возможных значений, даже если точное значение неизвестно. Такие оценки используют при доказательстве утверждений и при поиске границ величин. Поэтому умение работать с неравенствами помогает не только решать уравнения, но и обосновывать выводы.

Что запомнить

• Если a > b, то a − b > 0; если a < b, то a − b < 0.
• При прибавлении одного и того же числа к обеим частям знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении на положительное число знак сохраняется.
• При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
• Неравенства одного направления можно складывать почленно.
• Из a > b и b > c следует a > c.