"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Числовое неравенство сравнивает два числа и показывает, какое из них больше или меньше. Оно помогает записывать отношения между числами, оценивать значения выражений и доказывать утверждения. Чтобы преобразовывать неравенства, нужно знать, когда знак сохраняется, а когда меняет направление. Особенно важно учитывать знак числа, на которое умножают или делят обе части: положительное число сохраняет порядок, отрицательное обращает его.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — запись, сравнивающая два числа с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Неравенство бывает истинным, если числа действительно находятся в указанном отношении, и ложным — если это не так. Например, 3 < 5 истинно, а 3 > 5 ложно. Это понятие нужно, чтобы точно описывать порядок чисел и проверять утверждения о них.
Знаки неравенства — обозначения >, <, ≥ и ≤, показывающие, какое отношение связывает числа. Запись a < b читают слева направо: «a меньше b», а a > b — «a больше b». У знаков ≥ и ≤ есть дополнительный смысл: они допускают равенство. По знаку можно сразу понять, какие числа сравниваются и в каком порядке.
Строгое неравенство — неравенство со знаком > или <, в котором сравниваемые числа не равны. Например, 4 < 7 — строгое неравенство, но 4 < 4 — ложное. Строгие знаки нужны, когда равенство исключено условием задачи. Если число может совпадать с другим, строгий знак использовать нельзя.
Нестрогое неравенство — неравенство со знаком ≥ или ≤, которое допускает равенство чисел. Например, 6 ≥ 6 истинно, так как знак означает «больше или равно». Такая запись нужна, когда подходит не только одно число больше другого, но и случай их равенства. Важно не путать её со строгим сравнением.
Двойное неравенство — запись, одновременно сравнивающая три числа, например a < b < c. Она означает сразу два условия: a < b и b < c. Например, 2 < 5 < 8 показывает, что 5 больше 2 и меньше 8. Такая форма удобна, когда нужно задать границы для числа.
На координатной прямой числа расположены в порядке возрастания слева направо. Поэтому число, стоящее правее другого, больше него: например, −2 правее −5, значит −2 > −5. Это помогает не путать отрицательные числа: близкое к нулю отрицательное число больше того, которое дальше от нуля влево. Сравнение по прямой наглядно объясняет и направление знаков.
Если к двум числам прибавить одно и то же число, оба сдвинутся по прямой на одинаковое расстояние. Их взаимное расположение не изменится, поэтому из a < b следует a + c < b + c. Вычитание числа устроено так же, поскольку вычесть c — значит прибавить −c. Например, к −4 < 7 прибавим 6 и получим 2 < 13.
Умножение на положительное число растягивает расстояния от нуля, но сохраняет расположение чисел: правое по-прежнему остаётся правее. Поэтому знак неравенства сохраняется; то же относится к делению на положительное число. При умножении на отрицательное число числа отражаются относительно нуля, и их порядок обращается. Отсюда следует правило: знак меняется на противоположный; деление на отрицательное число действует так же.
Если a > b и b > c, то a > c. Это свойство называют транзитивностью: раз a больше b, а b больше c, то a больше и c. На прямой b находится правее c, а a — правее b, следовательно, a тем более правее c. Свойство позволяет соединять несколько сравнений и получать новое, не выполняя вычислений.
При сложении почленно верных неравенств одного направления знак сохраняется. Если a > b, то разность a − b положительна; если c > d, положительна и c − d. Сумма этих разностей тоже положительна, значит (a + c) − (b + d) > 0, то есть a + c > b + d. Условие об одинаковом направлении важно: складывать нужно левые части друг с другом и правые — друг с другом.
| Преобразование | Условие | Получаемое неравенство | Изменение знака |
|---|---|---|---|
| Прибавление одного числа к обеим частям | a < b, любое c | a + c < b + c | Не меняется |
| Вычитание одного числа из обеих частей | a < b, любое c | a − c < b − c | Не меняется |
| Умножение или деление на положительное число | c > 0 | ac < bc; a/c < b/c | Не меняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | c < 0 | ac > bc; a/c > b/c | Меняется на противоположный |
| Транзитивность неравенств | a > b и b > c | a > c | Направление сохраняется |
| Почленное сложение неравенств | a > b и c > d | a + c > b + d | Направление сохраняется |
Найдите в таблице действие, которое собираетесь выполнить, и проверьте его условие. Особенно внимательно следите за знаком множителя или делителя: именно от него зависит, нужно ли перевернуть знак. Для сложения почленно убедитесь, что оба неравенства направлены одинаково.
Сравнить дроби 5/6 и 7/9. Дроби положительные, поэтому можно привести их к общему знаменателю, не меняя направления сравнения. Общий знаменатель равен 18, а числители после преобразования удобно сравнить как целые числа. Округление здесь не требуется и могло бы скрыть точное отношение.
Так как дроби записаны с одинаковым положительным знаменателем, больше та, у которой больше числитель. Ответ: 5/6 > 7/9. Этот способ точен и подходит также для сравнения отрицательных дробей, если правильно учитывать их знаки.
Из неравенства −4 < 7 получить новое, сначала прибавив к обеим частям 6, а затем умножив результат на −2. Действия выполняем по порядку, каждый раз применяя правило к обеим частям. При сложении направление не изменится, а при умножении на отрицательное число его нужно перевернуть. Поэтому нельзя оставить знак прежним на последнем шаге.
Проверка по прямой подтверждает ответ: −4 расположено правее −26. Ответ: −4 > −26. Если бы знак не перевернули, получилось бы неверное утверждение −4 < −26.
Доказать, что 5/8 + 7/12 > 1. Нужно вычислить сумму точно и сопоставить её с единицей. Для сложения дробей с разными знаменателями сначала выбираем общий знаменатель, затем складываем числители. После этого достаточно сравнить полученную дробь с дробью, равной единице.
Значит, сумма исходных дробей больше единицы. Ответ: 5/8 + 7/12 = 29/24 > 1. Проверка числителя помогает увидеть причину: после приведения к знаменателю 24 сумма числителей 29 больше 24.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если механически переносят правило для положительного множителя. Проверьте результат на простых числах: из 2 < 5 при умножении на −1 должно получиться −2 > −5. Если порядок на прямой не совпал, знак выбран неверно.
Знаки > и < часто путают, потому что их положение кажется похожим. Узкий конец знака направлен к меньшему числу, а раскрытая часть — к большему: −3 < 1. Можно также представить числа на прямой: справа находится большее. Подставьте известные числа и проверьте, соответствует ли запись их расположению.
Из a > b иногда ошибочно выводят −a > −b. При умножении на −1 порядок обращается, поэтому верно −a < −b. Ошибку допускают, забывая, что умножение меняет направление сравнения. Для проверки подставьте a = 5 и b = 2: получаются −5 и −2, и первое число меньше.
Почленное сложение или вычитание неравенств применяют без проверки условий. Складывать можно неравенства одного направления, сопоставляя левые части с левыми, а правые с правыми; для вычитания требуется отдельно обосновать результат. Причина ошибки — желание обращаться с неравенствами как с обычными равенствами. Перед действием запишите направления обоих знаков и проверьте, следует ли нужное утверждение из свойств.
Для сравнения чисел нужны знания о целых, рациональных и действительных числах, координатной прямой и действиях с отрицательными числами. Без них трудно правильно определить, какое число больше, и понять, почему при умножении на отрицательное порядок обращается. Свойства числовых неравенств затем используют при решении линейных неравенств и систем неравенств. Они также помогают оценивать значения выражений и доказывать алгебраические неравенства.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
При умножении на отрицательное число порядок чисел на прямой обращается: например, из 2 < 5 следует −4 > −10. Поэтому знак нужно направить в противоположную сторону. Это правило относится и к делению на отрицательное число.
Можно ли складывать два неравенства почленно?
Да, если они направлены одинаково: например, если a > b и c > d, то a + c > b + d. Это следует из того, что разности a − b и c − d положительны, а их сумма тоже положительна. Для вычитания нужно отдельно проверить направление и условия.
Чем строгое неравенство отличается от нестрогого?
Строгое неравенство использует знаки > или < и не допускает равенства сравниваемых чисел. Нестрогое записывают знаками ≥ или ≤: равенство в нём возможно. Например, 3 < 4 — строгое, а 3 ≤ 3 — нестрогое.
Как быстро сравнить две отрицательные дроби?
Можно привести дроби к общему положительному знаменателю и сравнить числители. При умножении обеих дробей на −1 их знаки меняются, а направление сравнения переворачивается. Например, для сравнения −5/6 и −7/9 сравниваем 5/6 и 7/9: первое больше, значит −5/6 меньше −7/9.
Почему из a > b нельзя заключить, что −a > −b?
Умножение обеих частей на −1 меняет направление неравенства, поэтому из a > b следует −a < −b. Например, 5 > 2, но −5 < −2. На прямой это видно по тому, что противоположные числа располагаются зеркально относительно нуля.
1.1. Числовые неравенства
