1.2. Координатная ось. Модуль числа

Определения и обозначения

Координатная ось — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта обычно обозначают нулём, а единичный отрезок задаёт масштаб. Такая ось нужна, чтобы изображать числа точками и сравнивать их положение.

Координата точки — число, которое показывает положение точки на оси относительно начала отсчёта. Например, запись A(−3) означает, что точка A имеет координату −3. По координате можно определить, где находится точка и как далеко она от нуля.

Модуль числа — расстояние от точки с данной координатой до начала отсчёта; его записывают как |a|. Расстояние измеряют в единичных отрезках, поэтому модуль не зависит от стороны, на которой находится точка. Он показывает только удалённость от нуля, а не направление.

Противоположные числа расположены на оси симметрично относительно начала отсчёта и имеют равные модули. У них одинаковая удалённость от нуля, но разные знаки, например 4 и −4. Нулю противоположен сам нуль.

Как это устроено

Чтобы каждой точке сопоставить число, сначала выбирают начало отсчёта. Затем задают единичный отрезок, то есть длину, принимаемую за одну единицу, и положительное направление. Отложив от нуля один, два или несколько единичных отрезков, получают координаты точек; движение в обратную сторону даёт отрицательные координаты.

Положительные координаты оказываются справа от нуля, потому что именно вправо принято положительное направление. При движении вправо значения увеличиваются: после 0 идут 1, 2, 3 и так далее. Влево значения уменьшаются, поэтому там располагаются −1, −2, −3 и другие отрицательные числа.

Модуль выражает расстояние до нуля, поскольку координатная ось позволяет измерять путь от точки до начала отсчёта в единичных отрезках. Направление при таком измерении не учитывается: одинаково важна длина пути вправо или влево. Поэтому модуль всегда неотрицателен, то есть |a| ≥ 0.

У положительного числа точка находится справа от нуля, и расстояние до нуля совпадает с его координатой, поэтому |a| = a. У отрицательного числа координата содержит знак «минус», но расстояние отрицательным быть не может. Чтобы получить его длину, берут противоположное число: при a < 0 выполняется |a| = −a.

Знак и модуль вместе полностью определяют положение точки: знак выбирает сторону от нуля, а модуль задаёт расстояние. Например, число −5 означает пять единичных отрезков влево, а число 5 — пять отрезков вправо. У противоположных точек расстояние между ними складывается из двух модулей, поэтому для a и −a оно равно 2|a|.

Координаты и модули чисел

Сначала определите знак числа, чтобы выбрать нужную сторону оси. Затем используйте модуль как расстояние до нуля. В последней строке выражение −a означает число с противоположным знаком.

Разбор задач

Задача 1

На координатной оси отметьте точки A(−3) и B(2). Найдите их модули. Нужно учесть не только расстояние точек от нуля, но и их положение по разные стороны оси.

1. Точка A имеет отрицательную координату, значит, её отмечают слева от нуля на расстоянии трёх единичных отрезков.
2. По правилу модуля отрицательного числа получаем |−3| = 3.
3. Точка B имеет положительную координату, поэтому находится справа от нуля на расстоянии двух единичных отрезков, и |2| = 2.

Ответ: A находится слева, B — справа; |−3| = 3, |2| = 2.

Задача 2

Найдите расстояние между точками C(−4) и D(3). Точки находятся по разные стороны от нуля, поэтому расстояние между ними включает путь от −4 до 0 и путь от 0 до 3. Можно сложить соответствующие модули.

1. От точки C до нуля нужно пройти |−4| = 4 единицы.
2. От нуля до точки D нужно пройти |3| = 3 единицы.
3. Складываем эти длины: 4 + 3 = 7; то же самое даёт формула |3 − (−4)| = |7| = 7.

Ответ: расстояние между точками C и D равно 7 единицам.

Задача 3

Найдите все целые числа x, для которых |x| = 5, и отметьте соответствующие точки на оси. Равенство означает, что точка удалена от нуля на пять единичных отрезков. Такое расстояние можно отложить в двух направлениях.

1. Справа от нуля находится точка с координатой 5, поэтому x = 5 подходит.
2. Слева от нуля на таком же расстоянии находится точка с координатой −5, поэтому x = −5 тоже подходит.
3. Проверяем: |5| = 5 и |−5| = 5; других точек на расстоянии 5 от нуля нет.

Ответ: x = −5 или x = 5; на оси нужно отметить точки −5 и 5.

Типичные ошибки

Ошибка: считать модуль отрицательным вместе с числом, например записывать |−7| = −7. Так происходит, если знак координаты путают с длиной расстояния. Проверьте себя: модуль не может быть меньше нуля, значит правильно |−7| = 7.

Ошибка: полагать, что |a| всегда равно a. Это верно для a ≥ 0, но при отрицательном a выражение −a меняет знак на положительный. Для проверки подставьте отрицательное число, например |−2| = 2, а не −2.

Ошибка: путать знак координаты с модулем. Знак указывает сторону от нуля, а модуль сообщает, сколько единичных отрезков до него. Нарисуйте ось: у точек 6 и −6 разные стороны, но одинаковое расстояние 6.

Ошибка: находить для |x| = 5 только x = 5. Ненулевое расстояние можно отложить и вправо, и влево. Проверьте оба варианта: подходят x = 5 и x = −5.

Связь с другими темами

До изучения координатной оси нужны представления о положительных и отрицательных числах, нуле и сравнении чисел. Эти знания объясняют порядок точек на оси и помогают правильно читать их координаты. Без понимания знаков трудно определить сторону от нуля.

Координатная ось и модуль используются при сравнении чисел и нахождении расстояний между точками. Позже они понадобятся при решении уравнений и неравенств с модулем. Геометрический смысл модуля помогает проверять вычисления и понимать количество решений.

Что запомнить

• Координатная ось имеет начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
• Число задаёт координату точки на оси.
• Модуль числа — расстояние от соответствующей точки до нуля.
• |a| ≥ 0 для любого числа a.
• |a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0.
• Противоположные числа имеют равные модули.