"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Числа объединяют в множества по общим свойствам: так проще понять, какие вычисления с ними возможны и как описывать решения уравнений. Натуральные числа расширяются до целых, затем до рациональных; вместе с иррациональными они образуют действительные числа. Различать эти множества помогают дробная и десятичная записи: рациональная десятичная запись конечна или периодична, а иррациональная бесконечна и непериодична. Любое действительное число можно отметить точкой на числовой прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа ℕ — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В этом объяснении принимаем соглашение, что нуль не является натуральным числом. Запись 7 ∈ ℕ означает, что 7 принадлежит этому множеству, а 0 ∉ ℕ — что 0 ему не принадлежит.
Целые числа ℤ включают натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Например, −5 — целое число, потому что оно противоположно натуральному числу 5. Это множество нужно, чтобы работать с вычитанием, результат которого может быть отрицательным.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −3 = −3/1 и 2/5 — рациональные числа. Такое определение позволяет включить в одно множество целые числа, обыкновенные дроби и многие десятичные дроби.
Иррациональные числа — действительные числа, которые нельзя представить дробью m/n с целыми m и n, n ≠ 0. К ним относятся, например, √2 и π. Действительные числа ℝ объединяют рациональные и иррациональные числа, поэтому в них входят все числа, которые можно отметить на числовой прямой.
Множества чисел вложены друг в друга: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Знак ⊂ означает, что каждый элемент меньшего множества входит в большее. Например, натуральные числа входят в целые, потому что для них не нужно вводить отрицательные числа, а при переходе от целых к рациональным добавляются дроби. Каждый переход расширяет набор чисел, который нужен для вычислений.
Рациональность числа проверяют по определению: нужно выяснить, можно ли записать его как дробь с целыми числителем и знаменателем, причём знаменатель не должен быть нулём. Например, 2/5 уже имеет такой вид, а целое число −3 можно записать как −3/1. Но √2 нельзя представить такой дробью, поэтому оно не принадлежит ℚ. Не каждое число, записанное с запятой, автоматически рационально.
Десятичная запись помогает распознать тип числа. У рационального числа она заканчивается или повторяет один и тот же блок цифр: например, 0,125 — конечная запись, а 0,(3) = 0,333… — периодическая. У иррационального числа цифры после запятой не заканчиваются и не образуют повторяющегося периода. Поэтому запись √2 = 1,4142… бесконечна и непериодична.
Действительные числа удобно представлять на числовой прямой. Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, а каждой точке прямой — ровно одно действительное число. Рациональные числа могут быть отмечены на прямой, но между ними остаются и иррациональные числа, например √2. Так прямая изображает не только целые числа и дроби, но все действительные числа.
Знаки ∈ и ∉ сравнивают число с множеством: 4 ∈ ℕ, а −4 ∉ ℕ. Знак ⊂ показывает отношение между целыми множествами: например, ℤ ⊂ ℚ. Если множество чисел входит в другое, каждый его элемент принадлежит и большему множеству. Поэтому из 5 ∈ ℕ следует также 5 ∈ ℤ, 5 ∈ ℚ и 5 ∈ ℝ.
| Множество | Обозначение | Какие числа входят | Примеры | Связь с другими множествами |
|---|---|---|---|---|
| Натуральные числа | ℕ | Числа для счёта, начиная с 1 | 1, 2, 7 | ℕ ⊂ ℤ |
| Целые числа | ℤ | Натуральные, противоположные им и нуль | −3, 0, 8 | ℤ ⊂ ℚ |
| Рациональные числа | ℚ | Числа вида m/n, где m, n ∈ ℤ и n ≠ 0 | 2/5, −3, 0,125 | ℚ ⊂ ℝ |
| Иррациональные числа | Обозначаются словами | Действительные числа, не являющиеся рациональными | √2, π | Входят в ℝ, но не в ℚ |
| Действительные числа | ℝ | Все рациональные и иррациональные числа | −2, 1/3, √2 | ℚ ⊂ ℝ |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, как записано число, а затем проверьте, к каким множествам оно относится. Поскольку множества вложены, число может принадлежать сразу нескольким множествам. Например, 7 — натуральное, целое, рациональное и действительное число.
Сначала проверим каждый элемент, начиная с самого узкого множества, ℕ, и будем переходить к более широким. Помним, что в принятом соглашении натуральные числа начинаются с 1. Числа, не вошедшие в ℕ, всё ещё могут быть целыми или рациональными.
Число 7 натуральное, поэтому оно также целое, рациональное (7 = 7/1) и действительное. Записываем: 7 ∈ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Число −3 не натуральное, но целое; равенство −3 = −3/1 показывает, что оно рациональное и действительное.
Нуль не входит в ℕ по принятому соглашению, но входит в ℤ. Его можно записать как 0/1, поэтому 0 ∈ ℚ и 0 ∈ ℝ. Дробь 2/5 не целая, зато по определению рациональная, а значит, действительная.
Число √2 иррационально: его нельзя представить дробью целых чисел. Оно не принадлежит ℕ, ℤ или ℚ, но принадлежит ℝ. Проверяем результат по вложенности: все натуральные числа попали также в три более широких множества.
Ответ: ℕ — 7; ℤ — 7, −3, 0; ℚ — 7, −3, 0, 2/5; ℝ — 7, −3, 0, 2/5, √2.
Для десятичных дробей проверим, заканчивается ли запись или повторяет период. Для корня сначала найдём его значение, а π сравним с определением рационального числа. Важно не решать по внешнему виду: корень может оказаться целым числом.
Число 0,75 — конечная десятичная дробь, причём 0,75 = 75/100 = 3/4. Оно рациональное. Число 0,(3) имеет период 3 и равно 1/3, поэтому тоже рациональное.
Упростим корень: √9 = 3. Число 3 целое и представляется как 3/1, значит, оно рациональное. Сам знак корня не говорит, рационально число или нет: нужно вычислить корень, если это возможно.
Число π — иррациональное: его десятичная запись бесконечна и непериодична, а представить его дробью целых чисел нельзя. Значит, среди данных чисел 0,75, 0,(3) и √9 рациональны, а π иррационально.
Ответ: рациональные — 0,75; 0,(3); √9. Иррациональное — π.
Конечную десятичную дробь превращаем в обыкновенную, поставив в знаменатель 10, 100 или другую степень десяти. Для периодической дроби можно воспользоваться равенством с числом, сдвинутым на один период. После сокращения дроби определим, является ли число целым или натуральным.
В числе 0,125 три цифры после запятой, поэтому 0,125 = 125/1000. Сокращаем числитель и знаменатель на 125: получаем 1/8. Это рациональное и, следовательно, действительное число; оно не является целым или натуральным.
Обозначим x = 0,(27), то есть x = 0,272727… . Умножим на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период: 100x = 27,272727… . Вычтем первое равенство из второго: 99x = 27, откуда x = 27/99 = 3/11.
Число 3/11 рациональное и действительное, но не целое и не натуральное. Дробь 1/8 также принадлежит ℚ и ℝ, но не ℤ и ℕ. Проверяем себя: обе исходные записи конечны или периодичны, как и должно быть у рациональных чисел.
Ответ: 0,125 = 1/8 ∈ ℚ, ℝ; 0,(27) = 3/11 ∈ ℚ, ℝ.
Считать рациональным любое число с десятичной записью — ошибка: десятичная запись есть и у иррациональных чисел. Так думают, потому что после запятой можно увидеть цифры, но этого недостаточно. Проверьте, заканчивается ли запись или повторяет период; бесконечная непериодическая запись указывает на иррациональное число.
Путать иррациональность с отрицательным знаком тоже неверно: знак показывает положение числа относительно нуля, а не возможность записать его дробью. Например, −3 — рациональное число, а √2 — иррациональное и положительное. Для проверки попробуйте представить число в виде m/n с целыми m и n ≠ 0.
Нельзя считать, что √a всегда иррационально: √9 = 3, а √16 = 4. Ошибка возникает, если не упростить корень и судить только по символу √. Сначала вычислите корень, если подкоренное число является квадратом целого числа, и лишь затем определяйте вид числа.
Нуль не следует автоматически записывать в ℕ: в одних соглашениях он натуральный, в других — нет. Чтобы не ошибиться, уточните, какое определение принято в учебнике; в данном разборе ℕ начинается с 1. Затем последовательно проверьте остальные множества: нуль в любом случае целый, рациональный и действительный.
Для этой темы пригодятся навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями, целыми числами и противоположными числами. Также нужно уметь понимать квадратный корень: например, упростить √9 до 3 и отличить его от √2. Эти знания помогают определять, к какому множеству относится число.
Числовые множества понадобятся при изучении неравенств и числовых промежутков, где числа располагают на прямой. Они также помогают проверять решения уравнений и находить область допустимых значений — те числа, при которых выражение имеет смысл. Понимание множеств позволяет заранее заметить, если найденное значение не подходит условию задачи.
Входит ли нуль в множество натуральных чисел?
В принятом здесь соглашении натуральные числа начинаются с 1, поэтому 0 ∉ ℕ. В некоторых источниках нуль включают в натуральные числа, поэтому всегда проверяйте обозначение в учебнике.
Почему число 0,(3) является рациональным?
Периодическая десятичная дробь 0,(3) равна 1/3. Значит, её можно представить в виде дроби с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, поэтому число рационально.
Как отличить иррациональное число от рационального?
Рациональное число можно записать как m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0; его десятичная запись конечна или периодична. У иррационального числа запись бесконечна и не имеет периода.
Может ли отрицательное число быть рациональным?
Да. Например, −3 = −3/1, поэтому это рациональное число. Рациональность определяется возможностью представить число дробью, а не его знаком.
Почему √9 рационально, а √2 иррационально?
√9 = 3, а целое число можно представить дробью 3/1, поэтому √9 рационально. √2 нельзя представить дробью целых чисел, поэтому оно иррационально.
1.3. Множества чисел
