"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Декартова система координат помогает точно указывать положение любой точки на плоскости с помощью пары чисел. Для этого проводят две перпендикулярные числовые оси с общим началом: горизонтальную Ox и вертикальную Oy. Первое число в записи точки показывает её положение по горизонтали, второе — по вертикали. Знаки чисел помогают определить четверть, а нулевая координата означает, что точка лежит на одной из осей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Декартова система координат — две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Иначе говоря, это две числовые прямые, пересекающиеся под прямым углом. Такая система нужна, чтобы задавать положение точек на плоскости двумя числами.
Координатная плоскость — плоскость, на которой задана декартова система координат. На ней можно не только отмечать точки, но и сравнивать их расположение. Единые направления и масштаб позволяют разным людям одинаково понимать координаты.
Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс Ox и вертикальная ось ординат Oy. Буква O обозначает их общую точку пересечения, а буквы x и y указывают, какую координату читают по каждой оси. Такое обозначение помогает не перепутать горизонтальное и вертикальное направления.
Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), где x — абсцисса, а y — ордината точки. Первое число показывает положение относительно оси Oy, второе — относительно Ox. Порядок важен: перестановка чисел обычно задаёт другую точку.
На плоскости одной числовой оси недостаточно: она показывает положение только вдоль одного направления. Чтобы указать, насколько точка смещена и в сторону, и вверх или вниз, нужны два независимых направления. Перпендикулярность осей делает эти направления удобными для измерения и не позволяет одному смещению смешиваться с другим. Поэтому положение точки задаётся парой чисел, а не одним.
Общая точка пересечения осей становится началом координат O, от которого отсчитывают расстояния в обоих направлениях. На каждой оси выбирают положительное направление, а противоположное считается отрицательным. Единичный отрезок задаёт, какое расстояние соответствует одной единице, причём на обеих осях он одинаков. Благодаря этому значения координат согласованы и точка имеет одно и то же описание для всех, кто пользуется этой системой.
Чтобы определить координаты отмеченной точки, мысленно опускают из неё перпендикуляры на обе оси. Место пересечения с Ox показывает абсциссу, а место пересечения с Oy — ординату. Расстояние от нуля читают как число единиц масштаба, а направление определяет знак. Например, для A(3; 2) абсцисса равна 3, ордината — 2; на схеме проекции помогают увидеть оба значения.
Оси делят плоскость на четыре области, которые называют координатными четвертями. Знак абсциссы показывает, находится точка справа или слева от Oy, а знак ординаты — выше или ниже Ox. Поэтому сочетание знаков однозначно указывает четверть: I — (+; +), II — (−; +), III — (−; −), IV — (+; −). Если хотя бы одна координата нулевая, точка находится на оси, а не внутри четверти.
Для построения точки сначала от начала координат откладывают абсциссу по Ox, затем из полученного места проводят перпендикуляр к оси и откладывают ординату. Отрицательное число отсчитывают против положительного направления, положительное — по нему. Так, чтобы построить B(2; −1), нужно пройти вправо на 2 единицы, а затем вниз на 1. Если x = 0, точка лежит на Oy; если y = 0 — на Ox, а при обеих нулевых координатах это начало O.
На графике показаны точки A(3; 2) и B(−2; −3). Их пунктирные проекции на оси показывают, как считывают абсциссу и ординату.
| Элемент или объект | Обозначение или запись | Что показывает или как определяется |
|---|---|---|
| Координатная плоскость | Плоскость с осями Ox и Oy | Задаёт положение точек двумя координатами. |
| Ось абсцисс | Ox, горизонтальная | По ней определяют первую координату x. |
| Ось ординат | Oy, вертикальная | По ней определяют вторую координату y. |
| Начало координат | O(0; 0) | Общая точка пересечения осей и точка отсчёта. |
| Координаты точки | (x; y) | x — абсцисса, y — ордината. |
| Координатные четверти | I, II, III, IV | Области плоскости, определяемые знаками координат. |
Пользуйся таблицей, чтобы вспомнить, по какой оси искать каждую координату и как записывать точку. Сначала проверь порядок чисел, а затем — знаки. Нулевая координата указывает, что точка лежит на оси.
Для точки A(−3; 4) нужно назвать обе координаты и определить четверть. Координаты записаны в порядке (x; y), поэтому первое число относится к Ox, а второе — к Oy. Знаки пары (−; +) помогут найти нужную область плоскости.
Первая координата равна −3, значит, абсцисса точки равна −3. Она показывает, что точка расположена левее оси Oy. Вторая координата равна 4, поэтому ордината точки — 4.
Абсцисса отрицательна, а ордината положительна. По сочетанию знаков (−; +) находим II координатную четверть. Значит, точка A находится слева от Oy и выше Ox.
Ответ: абсцисса −3, ордината 4, II четверть.
Нужно построить B(2; −1), C(0; 3), D(−4; 0) и выяснить, какие точки лежат на осях. При построении для каждой пары сначала учитываем x, а затем y. Для проверки оси используем правило: нулевая абсцисса означает положение на Oy, нулевая ордината — на Ox.
Для B от начала координат идём вправо на 2 единицы, затем вниз на 1. Обе координаты B ненулевые, поэтому точка находится внутри IV четверти. Она не лежит на осях.
У точки C абсцисса равна нулю, а ордината равна 3. Откладываем от O три единицы вверх по Oy. Следовательно, C лежит на оси Oy.
У точки D абсцисса равна −4, а ордината равна нулю. От O откладываем четыре единицы влево по Ox. Значит, D лежит на оси Ox.
Ответ: на Oy лежит C, на Ox — D; B не лежит на координатных осях.
Даны A(−2; 3), B(4; 3), C(4; −1); требуется найти D, чтобы ABCD был прямоугольником. У точек A и B одинаковая ордината, значит, AB — горизонтальная сторона. У B и C одинаковая абсцисса, поэтому BC — вертикальная сторона.
В прямоугольнике противоположная AB сторона CD тоже горизонтальна. Поэтому у точки D должна быть такая же ордината, как у C: y = −1. Это сохраняет горизонтальное направление стороны CD.
Сторона AD вертикальна, как BC. Значит, у D должна быть та же абсцисса, что у A: x = −2. Теперь обе координаты четвёртой вершины определены.
Записываем координату x первой, а y второй. Проверка: D(−2; −1) имеет с A общую абсциссу, а с C — общую ординату, поэтому стороны AD и CD перпендикулярны.
Ответ: D(−2; −1).
Запись координат в обратном порядке возникает, когда путают абсциссу и ординату. В результате точка оказывается в другом месте. Проверяй себя так: первое число всегда откладывай по Ox, второе — по Oy.
Отрицательное число иногда откладывают в положительном направлении, потому что замечают расстояние, но забывают знак. Тогда точка попадает не в ту сторону от начала. Перед построением назови направление: минус — против положительного направления оси.
Началом координат ошибочно считают любую точку пересечения линий на рисунке. Но начало — только пересечение именно осей Ox и Oy, от которого отсчитываются координаты. Проверь, что через выбранную точку проходят обе обозначенные оси и что у неё координаты (0; 0).
Точке на оси иногда приписывают координатную четверть, ориентируясь на её положение выше или правее начала. На оси одна координата равна нулю, поэтому точка не находится внутри области между осями. Проверь пару: если x = 0 или y = 0, четверть указывать нельзя.
Для работы с координатами нужны знания о числовой прямой, положительных и отрицательных числах, масштабе и построении перпендикулярных прямых. Если эти понятия знакомы, можно читать координаты и строить точки по заданным числам. Декартова система становится основой для изучения графиков функций: график показывает, какие точки соответствуют значениям переменных. Координатный метод применяют и в геометрии, чтобы решать задачи и исследовать взаимное расположение фигур с помощью чисел.
Почему координаты точки записывают именно в порядке (x; y)?
Такой порядок соответствует осям: сначала указывают положение точки по горизонтали, то есть абсциссу x, затем по вертикали — ординату y. Благодаря единому правилу запись можно прочитать без путаницы.
Как быстро определить координатную четверть по знакам координат?
В I четверти обе координаты положительные: (+; +), во II — абсцисса отрицательная, а ордината положительная: (−; +). В III обе координаты отрицательные: (−; −), а в IV абсцисса положительная, ордината отрицательная: (+; −).
Может ли точка с нулевой координатой находиться в координатной четверти?
Нет. Если одна из координат равна нулю, точка лежит на соответствующей оси, а оси не относятся ни к одной четверти.
Как построить точку, если одна из её координат отрицательная?
От начала координат отложи отрицательную координату в направлении, противоположном положительному направлению соответствующей оси. Затем проведи перпендикуляр к этой оси и отложи вторую координату по её знаку.
Чем координатная плоскость отличается от обычного рисунка с двумя пересекающимися прямыми?
У координатной плоскости оси перпендикулярны, имеют общее начало, обозначенные положительные направления и одинаковый масштаб. Поэтому положение точки на ней можно однозначно задать двумя числами.
1.4. Декартова система координат на плоскости
