§ 1. Функции и графики

Определения и обозначения

Функция — правило, которое каждому допустимому значению переменной x ставит в соответствие ровно одно значение y. Переменную x называют аргументом, а y — значением функции. Это определение помогает отличить функцию от любой другой зависимости: для одного аргумента результат должен быть единственным.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Её обычно обозначают буквой D. Она нужна, чтобы понимать, какие x можно подставлять в формулу и включать в график.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), где x принадлежит области определения, а y — соответствующее значение функции. График позволяет увидеть зависимость целиком, а не только для одного аргумента. Каждая его точка показывает пару значений, связанных правилом функции.

Область значений функции — множество всех значений y, которые функция принимает. Она описывает возможные результаты работы правила. Её не следует путать с областью определения: первая относится к y, вторая — к x.

Как это устроено

В функции значение y зависит от аргумента x, потому что правило использует выбранное значение x, чтобы получить результат. Например, если y = 2x − 1, то при разных x результат будет меняться. Для каждого допустимого x вычисление по одной и той же формуле даёт один результат. Если бы одному x отвечали два разных y, правило перестало бы однозначно задавать функцию.

Область определения находят, проверяя, при каких x выражение справа от знака равенства имеет смысл. Например, делить на ноль нельзя, поэтому значения, обращающие знаменатель в ноль, исключают. В других формулах могут быть свои ограничения, связанные с действиями, которые нельзя выполнить. Полученное множество и есть допустимые значения аргумента.

Чтобы построить график по формуле, сначала выбирают несколько значений x из области определения. Для каждого из них вычисляют y и записывают результат парой (x; y) в таблицу. Затем пары отмечают на координатной плоскости: первая координата задаёт положение по горизонтали, вторая — по вертикали. Чем удачнее выбраны значения x, тем легче увидеть форму графика.

У точек графика функции не может быть одинаковой первой координаты и разных вторых координат. Первая координата — это аргумент, а вторая — единственный результат, который ему соответствует. Поэтому, если провести вертикальную линию через график, она не должна пересекать его в двух точках с разными y. Это наглядная проверка того, что изображена именно функция.

Чтобы найти значение функции при заданном x, на графике отыскивают этот аргумент на горизонтальной оси и смотрят, до какого значения y поднимается или опускается точка графика. Если задано y, действуют наоборот: находят точки графика с такой высотой и считывают их абсциссы. У одного y может оказаться несколько соответствующих x, поскольку разные аргументы иногда дают одинаковый результат. Поэтому при чтении графика важно проверять все точки пересечения с горизонтальной линией.

Способы задания функции

Способ задания выбирают в зависимости от того, что удобнее: формула подходит для вычислений, а график помогает увидеть зависимость. Таблица показывает отдельные пары значений, а словесное правило объясняет порядок действий. Одну и ту же функцию иногда можно задать несколькими способами.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 2x − 1 найдите значение y при x = 3 и укажите точку графика с этой абсциссой. Нужно подставить аргумент в формулу, потому что именно она задаёт правило зависимости. Полученное значение y станет второй координатой точки.

1. Вместо x подставляем 3: y = 2 · 3 − 1.
2. Выполняем действия: y = 6 − 1 = 5.
3. Записываем точку графика как пару (x; y), то есть (3; 5).

Ответ: при x = 3 значение y равно 5; точка графика — (3; 5). Проверка проста: подстановка первой координаты в формулу должна давать вторую.

Задача 2. Найдите область определения функции y = 5/(x − 2). В формуле есть дробь, поэтому сначала проверяем её знаменатель. Все значения x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю, допустимы.

1. Записываем условие: x − 2 ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя.
2. Решаем неравенство: x ≠ 2.
3. Исключаем 2 из множества всех действительных чисел.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме 2. При x = 2 формула не имеет смысла, а при любом другом действительном x знаменатель ненулевой.

Задача 3. Постройте график функции y = x² по таблице значений и определите по графику, при каких x функция принимает значение 4. Для построения удобно взять несколько аргументов по обе стороны от нуля, чтобы заметить симметрию. Затем нужно найти на графике точки, у которых вторая координата равна 4.

1. Составляем таблицу: при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаем y = 4, 1, 0, 1, 4.
2. Отмечаем точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) и проводим через них плавную линию графика.
3. Ищем пересечения графика с горизонтальным уровнем y = 4. Видим точки с абсциссами −2 и 2.

Ответ: функция принимает значение 4 при x = −2 и x = 2. Это также следует из равенства x² = 4: число и противоположное ему число имеют одинаковый квадрат.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что одному x могут соответствовать несколько значений y. Так думают, когда путают множество точек с правилом функции, но единственность результата входит в определение функции. Проверьте себя: если для одной первой координаты на графике нашлись две разные вторые, перед вами не график функции.

Область определения иногда принимают за область значений, потому что обе области описывают возможные числа. Первая относится к аргументам x, а вторая — к результатам y. Чтобы не перепутать их, спросите себя, какое значение выбирают для подстановки, а какое получают после вычисления.

При поиске области определения можно забыть исключить значение, при котором знаменатель равен нулю. Это случается, если сразу подставлять числа, не проверив ограничения формулы. Подставьте найденное значение в знаменатель: если получается ноль, его нужно убрать из области определения.

Нанесённые точки не всегда можно соединять произвольной линией. Соединение может добавить точки, которые не удовлетворяют правилу или не принадлежат области определения. Перед тем как проводить линию, проверьте, что выбранные промежуточные значения x допустимы и что форма графика согласуется с формулой.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны навыки, которые изучались раньше: чтение координатной плоскости, запись упорядоченных пар и подстановка чисел в выражения. Если эти действия вызывают затруднения, полезно сначала потренироваться на простых примерах. Функции, в свою очередь, станут основой для изучения линейных и других зависимостей, решения уравнений и анализа того, как связаны между собой величины. Умение читать графики поможет понимать такие зависимости не только в алгебре, но и в задачах других предметов.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие ровно одно y.
• Область определения — допустимые значения аргумента x.
• Область значений — значения функции y.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).
• График можно строить по таблице значений.
• По графику можно находить значения функции и соответствующие им аргументы.