30. Функции и графики

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой. Например, правило «прибавить к числу 2» каждому выбранному числу даёт один результат. Это понятие нужно, чтобы точно описывать, как одна величина меняется вместе с другой.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её значения выбирают из области определения, то есть из множества допустимых значений. Аргумент нужен, чтобы указать, для какого входного числа мы ищем результат; подставлять в правило можно не любое число, если часть значений запрещена.

Значение функции — результат зависимости для выбранного аргумента; его обозначают f(x) или, часто, y. Чтобы его найти, подставляют аргумент в правило функции и выполняют вычисления. Например, если y = 2x − 1, то при x = 3 значение функции равно 5; такое обозначение помогает различать вход и полученный результат.

График функции — множество точек координатной плоскости, у которых абсцисса равна аргументу, а ордината — соответствующему значению функции. Абсцисса — координата по горизонтали, ордината — по вертикали. Поэтому точка графика записывается как (x; f(x)); график позволяет увидеть зависимость и считывать её значения.

Как это устроено

В записи y = f(x) буква x задаёт аргумент, а y показывает результат для этого аргумента. Сначала выбирают x, затем применяют правило и получают y: именно поэтому x называют независимой переменной, а y — зависимой. Например, в формуле y = x + 2 числу 3 соответствует число 5. Запись f(x) читают как «значение функции при аргументе x», а не как произведение f на x.

Область определения включает все значения аргумента, для которых правило функции имеет смысл. Её проверяют до подстановки, потому что некоторые действия возможны не при всех числах: например, на ноль делить нельзя. Если в формуле есть дробь, значение, обращающее её знаменатель в ноль, исключают. Учёт области определения не позволяет получить бессмысленное вычисление или добавить к графику точки, которых у функции быть не может.

Чтобы построить график по формуле, выбирают несколько допустимых значений x и вычисляют соответствующие y. Так получают пары чисел, из которых составляются координаты точек (x; y). Например, для y = x + 2 можно взять x = −2, 0 и 2, тогда y равны 0, 2 и 4. Несколько точек помогают увидеть форму графика и начертить его точнее, чем одна-единственная точка.

Отмеченные точки соединяют только тогда, когда это соответствует характеру зависимости. У формулы y = x + 2 график — прямая, поэтому точки можно соединить прямой линией; если же аргумент принимает только отдельные значения, график может состоять из отдельных точек. Само наличие нескольких точек ещё не доказывает, что между ними нужно проводить линию. Решение о соединении зависит от того, какие значения аргумента допустимы и как задана функция.

По графику можно находить значение функции при заданном аргументе и, наоборот, искать аргумент для заданного значения. В первом случае находят x на горизонтальной оси, переходят к графику и считывают ординату y. Во втором находят нужную высоту y, проводят горизонтальный взгляд до графика и определяют абсциссу x. Такой способ чтения графика позволяет решать задачи даже тогда, когда формула функции не дана.

Способы задания функции

Выбирайте способ по тому, что требуется узнать: для вычислений удобно правило-формула, для нескольких готовых пар — таблица, для наглядного сравнения — график. Способы могут дополнять друг друга: таблицу строят по формуле, а по её значениям отмечают точки графика.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 2x − 1 найдите значение y при x = 3. Нужно определить результат для уже заданного аргумента, поэтому подставим 3 вместо каждой буквы x. Следим за порядком действий: сначала умножаем, затем вычитаем. Так мы применяем правило функции, а не подбираем ответ наугад.

1. Запишем правило: y = 2x − 1.
2. Подставим x = 3: y = 2 · 3 − 1.
3. Выполним вычисления: y = 6 − 1 = 5.

Ответ: при x = 3 значение y равно 5. Проверка проста: подстановка числа 3 в исходную формулу действительно даёт 5.

Задача 2

Постройте график функции y = x + 2, составив таблицу для нескольких значений x. Для прямой достаточно найти несколько точек, принадлежащих графику, и отметить их на координатной плоскости. Возьмём значения, для которых вычисления просты: −2, 0 и 2. Каждое значение y найдём отдельно по формуле, не меняя местами x и y.

1. При x = −2 получаем y = −2 + 2 = 0, то есть точку (−2; 0).
2. При x = 0 получаем y = 0 + 2 = 2, то есть точку (0; 2).
3. При x = 2 получаем y = 2 + 2 = 4, то есть точку (2; 4).
4. Отметим эти точки и проведём через них прямую, так как зависимость задана линейной формулой.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (−2; 0), (0; 2) и (2; 4). Для проверки можно подставить координаты каждой точки в равенство y = x + 2.

Задача 3

По графику функции определите значение y при x = 2 и найдите аргумент, при котором y = 1. Здесь не нужно вычислять по формуле: надо правильно прочитать координаты точек на графике. Координаты записывают в порядке (x; y), поэтому сначала важно понять, какую величину задаёт условие. На графике y = x + 2 можно ориентироваться по точкам, вычисленным в предыдущей задаче.

1. Для x = 2 находим точку графика с абсциссой 2 и считываем её ординату: y = 4.
2. Для y = 1 ищем на графике точку с ординатой 1 и считываем её абсциссу.
3. Так как здесь график задан формулой y = x + 2, проверим: 1 = x + 2, значит x = −1.

Ответ: при x = 2 значение y равно 4; значение y = 1 функция принимает при x = −1. Второй результат можно проверить подстановкой: −1 + 2 = 1.

Типичные ошибки

Ошибка: считать функцией любую зависимость, даже если одному аргументу соответствуют разные значения. Так бывает, когда замечают связь между величинами, но не проверяют единственность результата. Проверьте каждое значение аргумента: для него должен находиться ровно один результат. Если одному x отвечают два разных y, определение функции не выполняется.

Ошибка: путать аргумент x и значение функции y. Это часто происходит потому, что обе величины записаны буквами и стоят рядом в формуле. Помните, что x выбирают, а y находят по правилу. Для самопроверки подставьте выбранный x и убедитесь, что вычисляете именно вторую величину.

Ошибка: включать в область определения значение, при котором формула не имеет смысла, например делить на ноль. Иногда проверяют только вычисления после подстановки и забывают заранее исследовать знаменатель. Подставьте подозрительное значение в формулу и посмотрите, не появляется ли запрещённое действие. Все такие значения нужно исключить из области определения.

Ошибка: менять местами координаты точки при построении. Её допускают, когда забывают, какая переменная отложена по каждой оси. По горизонтали откладывают аргумент x, по вертикали — значение y. Перед отметкой точки запишите пару именно в порядке (x; y) и сверьте каждую координату с нужной осью.

Связь с другими темами

Для чтения графиков нужно уметь пользоваться координатной плоскостью и отмечать точки по координатам: аргумент задаёт горизонтальное положение, значение — вертикальное. При вычислениях по формуле пригодятся подстановка чисел в буквенные выражения и действия с рациональными числами. Эти навыки помогают не только построить точки, но и проверить полученный результат. Позже понятие функции понадобится при изучении линейной функции, а графики помогут решать уравнения графическим способом.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x).
• Область определения — множество допустимых значений аргумента.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).
• По графику можно находить значения функции и соответствующие им аргументы.