"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Квадратное неравенство содержит выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0, и требует найти все значения x, при которых выражение положительно или отрицательно. Чтобы решить его, находят нули квадратного трёхчлена, делят числовую прямую на промежутки и определяют знак на каждом из них. Направление ветвей параболы подсказывает, где трёхчлен положителен, а где отрицателен. В ответ включают корни только при нестрогом знаке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другими знаками сравнения, где a ≠ 0. Коэффициенты a, b и c — заданные числа, а x — переменная, значения которой нужно подобрать. Такая запись позволяет свести разные задачи к исследованию одного выражения.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, знак которого исследуют при решении неравенства. Он называется трёхчленом из-за трёх слагаемых, а квадрат переменной означает, что его график связан с параболой. Зная знак трёхчлена, можно понять, на каких участках выполняется заданное неравенство.
Решение квадратного неравенства — все значения переменной, при которых неравенство становится верным. Ответ может состоять из одного промежутка, нескольких промежутков или не содержать чисел вовсе. Поэтому найденные значения записывают не только по отдельности, но и в виде промежутков числовой прямой.
Сначала находят нули трёхчлена — значения x, при которых он равен нулю. Между соседними нулями знак выражения не может поменяться: для этого оно должно пройти через ноль, а других нулей на таком промежутке нет. Значит, достаточно разбить прямую корнями и определить знак трёхчлена на получившихся частях.
График y = ax² + bx + c — парабола, и знак a задаёт направление её ветвей. Если a > 0, ветви направлены вверх, поэтому при двух пересечениях с осью x график выше оси снаружи корней и ниже между ними. Если a < 0, ветви направлены вниз, и знаки располагаются наоборот. Так направление параболы помогает проверить результат, даже если график строить не требуется.
Нули находят, решая уравнение ax² + bx + c = 0; сначала вычисляют дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 есть два корня, при D = 0 — один двойной корень, а при D < 0 действительных корней нет. В последнем случае график не пересекает ось x, поэтому трёхчлен сохраняет знак, который определяется знаком a.
Корни располагают по возрастанию на числовой прямой: два различных корня дают три промежутка. Между ними знак противоположен знаку a, а снаружи совпадает с ним; это связано с тем, что при пересечении оси x график меняет положение относительно неё. При двойном корне пересечения с переходом на другую сторону нет: график только касается оси, поэтому знак по обе стороны одинаков.
После определения знаков выбирают только те промежутки, где выражение положительно или отрицательно — в зависимости от условия. Строгие знаки > и < не допускают равенства нулю, поэтому корни не включают; знаки ≥ и ≤ разрешают равенство и требуют включить корни. Несколько подходящих частей прямой записывают через объединение промежутков.
| Условие | Знак трёхчлена | Решение при > 0 | Решение при ≥ 0 |
|---|---|---|---|
| D > 0, корни x₁ < x₂, a > 0 | Положителен вне корней, отрицателен между ними | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) |
| D > 0, корни x₁ < x₂, a < 0 | Отрицателен вне корней, положителен между ними | (x₁; x₂) | [x₁; x₂] |
| D = 0, корень x₀, a > 0 | Неотрицателен, равен нулю при x₀ | ℝ \ {x₀} | ℝ |
| D = 0, корень x₀, a < 0 | Неположителен, равен нулю при x₀ | ∅ | {x₀} |
| D < 0, a > 0 | Положителен при всех x | ℝ | ℝ |
| D < 0, a < 0 | Отрицателен при всех x | ∅ | ∅ |
Сначала выбери строку по дискриминанту, знаку a и числу корней, затем проверь нужный знак неравенства. Для условия ≥ 0 используй столбец нестрогого решения: в него входят точки, где трёхчлен равен нулю. Для других знаков сравнения применяй ту же схему, выбирая промежутки с требуемым знаком.
Задача 1. Решите неравенство x² − 5x + 6 > 0. Нужно найти точки, где выражение обращается в ноль, и выяснить, где оно положительно. Здесь старший коэффициент положителен, поэтому за пределами двух корней знак будет положительным. Поскольку знак строгий, сами корни в ответ не войдут.
Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞). Проверка, например, значением x = 0 даёт 6 > 0, что подтверждает выбор левого промежутка. Между корнями выражение отрицательно.
Задача 2. Решите неравенство −2x² + 4x + 6 ≥ 0. Здесь ветви параболы направлены вниз, значит, при двух корнях выражение положительно между ними. Нестрогий знак означает, что допустимы и значения, при которых трёхчлен равен нулю. Поэтому важно включить оба корня.
Ответ: [−1; 3]. Например, при x = 0 значение выражения равно 6, то есть оно действительно неотрицательно внутри найденного промежутка. За его пределами знак отрицательный.
Задача 3. Решите неравенство 3x² − 2x + 5 < 0. Прежде чем искать промежутки, проверим, существуют ли действительные корни. Дискриминант покажет, пересекает ли парабола ось x. Поскольку знак a положителен, отсутствие корней будет означать, что выражение всегда положительно.
Ответ: ∅. Отрицательный дискриминант сам по себе не означает отсутствие решений любого неравенства. В этой задаче пустое множество получается потому, что требуется выражение меньше нуля, а оно всегда положительно.
Первая ошибка — выбирать знаки только по расположению корней, не проверяя знак a. Такое часто происходит, если запомнить схему для параболы с ветвями вверх и применить её всегда. При a < 0 знаки меняются на противоположные: убедись, что твоя схема соответствует направлению ветвей, или проверь знак в одной точке.
Вторая ошибка — включить корни при строгом знаке > или <. В корне выражение равно нулю, а ноль не подходит ни для требования быть строго больше, ни для требования быть строго меньше. Проверь знак сравнения: круглые скобки соответствуют строгому условию, квадратные — нестрогому.
Третья ошибка — решить, что при D < 0 решений нет, не посмотрев на знак старшего коэффициента и сам знак неравенства. Дискриминант сообщает только об отсутствии действительных нулей, но выражение при этом может быть всюду положительным или всюду отрицательным. Сверь знак a с требуемым знаком и выбери всё множество чисел либо пустое множество.
Четвёртая ошибка — при D = 0 считать корень точкой, по разные стороны от которой знаки обязательно меняются. Это неверно, потому что корень двойной: график касается оси x, а не пересекает её. Представь трёхчлен в виде a(x − x₀)² и проверь, что по обе стороны знак одинаков, а в самой точке выражение равно нулю.
Для решения квадратного неравенства понадобятся навыки решения квадратных уравнений: вычисление дискриминанта и поиск корней трёхчлена. График квадратичной функции и направление ветвей параболы помогают проверить, где выражение положительно или отрицательно. Метод знаков пригодится при решении систем неравенств и исследовании выражений в более сложных неравенствах.
Почему при решении квадратного неравенства нужно сначала найти корни соответствующего уравнения?
В корнях трёхчлен равен нулю, и именно там его знак может измениться. Корни разбивают числовую прямую на промежутки, внутри которых знак остаётся постоянным. Поэтому после их нахождения достаточно определить знак на каждом промежутке.
Как определить знак трёхчлена, если его корни не целые?
Найди корни по формуле и отметь их точные значения на числовой прямой; десятичные приближения нужны только для наглядности. При двух корнях знак между ними противоположен знаку a, а снаружи совпадает с ним. При двойном корне знак по обе стороны одинаков.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Действительных корней нет, поэтому трёхчлен не обращается в ноль и сохраняет один знак на всей числовой прямой. Этот знак совпадает со знаком коэффициента a. Значит, решение зависит от того, совпадает ли этот знак со знаком, который требуется в неравенстве.
Почему при двойном корне знак трёхчлена не меняется?
При D = 0 трёхчлен можно представить как a(x − x₀)². Квадрат выражения неотрицателен по обе стороны от x₀, поэтому меняется только его значение до нуля и обратно, а знак остаётся тем же, что и у a.
Когда корни нужно включать в ответ?
Корень включают, если неравенство нестрогое: ≥ или ≤, потому что в корне выражение равно нулю. При строгих знаках > или < корни не подходят и в ответ не входят.
§ 12. Решение квадратных неравенств.
