2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Определения и обозначения

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Точнее, для любых x₁ и x₂ из этого промежутка при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Это определение помогает установить, как изменяется результат функции при увеличении аргумента.

Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Для любых x₁ и x₂ из промежутка при x₁ < x₂ должно выполняться f(x₁) > f(x₂). Так можно проверить, уменьшаются ли значения функции на всём выбранном участке, а не только в нескольких отдельных точках.

Наибольшее значение функции на промежутке — это значение, которое функция принимает и которое не меньше всех остальных её значений на этом промежутке. Если оно равно M, то f(x) ≤ M для каждого допустимого x, причём при некотором x функция действительно равна M. Это понятие нужно, чтобы находить верхнюю границу значений, достигаемую функцией.

Наименьшее значение функции на промежутке — это значение, которое функция принимает и которое не больше всех остальных её значений на этом промежутке. Если оно равно m, то f(x) ≥ m для всех x, а в некоторой точке достигается равенство. Такое определение позволяет отличить настоящий минимум от числа, к которому значения функции лишь приближаются.

Как это устроено

Для проверки возрастания или убывания сравнивают два значения аргумента, а затем соответствующие им значения функции. Если при x₁ < x₂ выходит f(x₁) < f(x₂), функция возрастает; если f(x₁) > f(x₂), она убывает. Именно сравнение каждой пары аргументов на всём промежутке не позволяет ошибочно судить о поведении функции по одной точке.

Возрастание и убывание всегда рассматривают на заданном промежутке, потому что правило изменения функции может быть разным на разных участках. Например, y = x² убывает при x ≤ 0, но возрастает при x ≥ 0: слева от нуля значения приближаются к нулю, а справа удаляются от него. Поэтому слова «функция возрастает» без указания промежутка могут быть неточными.

По графику промежутки находят, двигаясь слева направо, то есть увеличивая x. Если линия поднимается, значения y становятся больше и функция возрастает; если линия опускается, значения y уменьшаются и функция убывает. В точках, где направление меняется, график разделяют на участки с разными свойствами.

Наибольшее и наименьшее значения ищут среди тех значений, которые функция принимает на указанном промежутке. Поэтому нужно проверить, входит ли в промежуток точка, в которой достигается предполагаемый максимум или минимум. На отрезке концы включены, а на промежутке с круглыми скобками граничные точки не входят, и функция может не достигать значения, к которому приближается.

Если функция монотонна на отрезке, порядок её значений не меняется: при возрастании самое маленькое значение находится на левом конце, а самое большое — на правом. При убывании, наоборот, максимум находится слева, а минимум справа. Если же внутри отрезка функция меняет направление, сравнивают значения в точках изменения поведения и на обоих концах.

Возрастание, убывание и экстремальные значения функции

Сначала проверь, что рассматривается один и тот же заданный промежуток, затем используй нужный столбец таблицы. Для монотонности сравнивают значения при двух аргументах, а для максимума и минимума — значения функции на всём промежутке. По графику прослеживай направление линии и не забывай проверить, достигается ли её верхняя или нижняя граница.

Разбор задач

Задача 1. По графику функции определить промежутки возрастания и убывания. Решение:

1. Отмечаем на оси x значения, в которых график меняет направление.
2. Прослеживаем линию слева направо: там, где она поднимается, функция возрастает, а где опускается — убывает.
3. Записываем каждый участок отдельно, указывая его границы. Если график состоит из нескольких ветвей, проверяем поведение каждой на рассматриваемой области.

Ответ: промежутки возрастания и убывания задаются участками подъёма и спуска графика слева направо. Точные границы зависят от изображённого графика, поэтому их считывают по его характерным точкам и отмеченным значениям x.

Задача 2. Для y = x² определить промежутки возрастания и убывания и наименьшее значение на [−2; 3]. Решение:

1. Вершина параболы находится при x = 0. Слева от неё график спускается к вершине, справа — поднимается.
2. Значит, функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Отрезок [−2; 3] включает вершину и оба конца.
3. Вычисляем значения в важных точках: y(−2) = 4, y(0) = 0, y(3) = 9. Наименьшее из них — 0, и оно достигается в точке x = 0.

Ответ: функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0; наименьшее значение на [−2; 3] равно 0.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения y = x³ − 3x на [−2; 2]. Решение:

1. По графику функция убывает на [−2; −1], возрастает на [−1; 1], затем убывает на [1; 2]. Значит, кроме концов отрезка нужно проверить точки смены направления x = −1 и x = 1.
2. Вычисляем значения: y(−2) = −2, y(−1) = 2, y(1) = −2, y(2) = 2.
3. Сравниваем результаты: самое большое значение равно 2, самое маленькое — −2. Оба значения достигаются на отрезке.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее значение равно −2.

Типичные ошибки

Ошибка — указывать, что функция возрастает или убывает, не называя промежуток. Так происходит, когда свойства воспринимают как неизменные для всей функции, хотя на разных участках поведение может отличаться. Проверка: всегда записывай границы промежутка и убедись, что условие выполняется на всём участке.

Иногда направление графика определяют, двигаясь справа налево, или путают подъём со спуском. Тогда возрастание и убывание меняются местами, потому что направление рассматривают при увеличении x. Проверяй себя движением слева направо: вверх — возрастание, вниз — убывание.

Значение в отдельной точке могут объявить наибольшим или наименьшим без сравнения с остальными. Причина в том, что заметную точку графика легко принять за максимум или минимум, но она может оказаться обычным значением. Чтобы проверить вывод, сравни её значение со всеми значениями функции на заданном промежутке.

При поиске экстремальных значений на отрезке иногда проверяют только точки изменения поведения. Концы забывают, хотя функция может достичь максимума или минимума именно там. Составь список всех точек смены направления внутри отрезка и обязательно добавь оба конца, затем сравни значения функции.

Связь с другими темами

Для работы с возрастанием и убыванием нужно уметь читать график и находить значения функции по графику или формуле. Также понадобятся понятия числового промежутка и сравнения чисел: они помогают правильно записать область, где исследуется функция. Умение находить промежутки монотонности и экстремальные значения пригодится при дальнейшем исследовании функций и построении графиков.

Что запомнить

• При возрастании функции увеличение аргумента приводит к увеличению значения функции.
• При убывании функции увеличение аргумента приводит к уменьшению значения функции.
• Возрастание и убывание указывают для конкретного промежутка.
• Наибольшее и наименьшее значения должны быть достигнуты функцией на рассматриваемом промежутке.
• При поиске наибольшего и наименьшего значений на отрезке проверяют точки изменения поведения функции и концы отрезка.