4. График квадратической функции

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a отвечает за форму и направление графика, а b и c вместе влияют на его положение. Такой общий вид удобен для вычислений и решения уравнений.

Парабола — график квадратичной функции. Это плавная симметричная кривая с одной вершиной и двумя ветвями. Название графика нужно, чтобы описывать не только формулу, но и геометрические свойства функции.

Вершина параболы — точка, относительно которой определяется положение и симметрия параболы. Она является самой нижней точкой при a > 0 или самой верхней при a < 0. Знание вершины помогает найти экстремальное значение функции и начать построение графика.

Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, делящая параболу на две симметричные части. У точек, расположенных на одинаковом расстоянии от этой прямой, одинаковые ординаты. Поэтому ось позволяет строить вторую половину графика без новых вычислений.

Как это устроено

Чтобы увидеть положение параболы, из общего вида выделяют полный квадрат: y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Поэтому каноническая запись имеет вид y = a(x − x₀)² + y₀, где x₀ = −b/(2a), а y₀ = c − b²/(4a). Вынесение коэффициента a нужно для того, чтобы квадрат оказался внутри скобок и его центр сразу был заметен.

График y = a(x − x₀)² + y₀ получают из y = x² последовательно. Замена x на x − x₀ сдвигает график вправо на x₀, а прибавление y₀ поднимает его вверх или опускает вниз. Умножение на |a| растягивает или сжимает график по вертикали, а отрицательный знак перед a отражает его относительно оси Ox.

Знак a определяет направление ветвей, потому что квадрат (x − x₀)² неотрицателен. При a > 0 добавка к y₀ неотрицательна, поэтому все точки лежат не ниже вершины и ветви направлены вверх. При a < 0 добавка неположительна, поэтому вершина становится наибольшей точкой, а ветви направлены вниз.

Ось симметрии имеет уравнение x = x₀: для точек x₀ − d и x₀ + d выражения в квадрате равны, поскольку равны d². Именно поэтому значения функции по обе стороны от оси совпадают. Абсциссу вершины находят по формуле x₀ = −b/(2a), а ординату — подстановкой: y₀ = f(x₀).

Для построения сначала отмечают вершину и проводят ось симметрии. Затем выбирают несколько x по одну сторону оси, вычисляют y и отражают полученные точки на другую сторону. Пересечение с осью Oy находится при x = 0 и имеет координаты (0; c), а пересечения с Ox находят из уравнения ax² + bx + c = 0.

Свойства графика y = a(x − x₀)² + y₀

В таблице собраны основные свойства параболы в зависимости от знака коэффициента a. Для исследования сначала найдите вершину и ось симметрии, а затем выберите нужный столбец.

Промежутки монотонности записаны с учётом вершины: до неё функция движется в одну сторону, а после неё — в другую.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Построить график функции y = 2(x − 1)² − 3 и указать координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей.

1. Формула уже записана в каноническом виде. Поэтому x₀ = 1, y₀ = −3, а вершина имеет координаты (1; −3).
2. Коэффициент 2 положителен, значит, ветви направлены вверх. Так как |a| = 2 больше единицы, парабола будет уже, чем y = x².
3. Ось симметрии: x = 1. Для построения можно взять точки x = 0 и x = 2: в обоих случаях y = −1, поэтому получаем точки (0; −1) и (2; −1).

Ответ: вершина (1; −3), ось симметрии x = 1, ветви направлены вверх. График строится через вершину и симметричные точки (0; −1), (2; −1).

Задача 2

Условие. Для функции y = −0,5(x + 2)² + 4 найти множество значений, промежутки возрастания и убывания, а также точки пересечения с осями.

1. Запишем x + 2 как x − (−2). Вершина равна (−2; 4), ось симметрии — x = −2, а отрицательный коэффициент показывает, что ветви направлены вниз.
2. Множество значений: (−∞; 4]. Функция возрастает на (−∞; −2] и убывает на [−2; +∞).
3. С осью Oy пересечение находится при x = 0: y = −0,5 · 4 + 4 = 2, точка (0; 2). Для оси Ox решаем −0,5(x + 2)² + 4 = 0, откуда (x + 2)² = 8 и x = −2 ± 2√2.

Ответ: множество значений (−∞; 4], возрастание на (−∞; −2], убывание на [−2; +∞). Пересечения: с Oy — (0; 2), с Ox — (−2 − 2√2; 0) и (−2 + 2√2; 0).

Задача 3

Условие. Построить график функции y = 2x² − 8x + 5, найти вершину, ось симметрии и нули функции.

1. Выделим полный квадрат: y = 2(x² − 4x) + 5 = 2[(x − 2)² − 4] + 5 = 2(x − 2)² − 3. Значит, вершина — (2; −3), а ось симметрии — x = 2.
2. Коэффициент 2 положителен, поэтому ветви направлены вверх. Для построения можно отметить также точки (1; −1) и (3; −1), симметричные относительно оси.
3. Нули находятся из уравнения 2x² − 8x + 5 = 0. По формуле корней x = (8 ± √64 − 40)/4 = (8 ± 2√6)/4 = 2 ± √6/2.

Ответ: y = 2(x − 2)² − 3, вершина (2; −3), ось x = 2, ветви направлены вверх. Нули функции: x₁ = 2 − √6/2 и x₂ = 2 + √6/2.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Абсциссу вершины находят как b/(2a), пропуская знак минус. Так происходит из-за невнимательного переноса члена при выделении квадрата. Проверьте результат формулой x₀ = −b/(2a) и подставьте его в преобразованную запись.

Ошибка 2. Направление ветвей путают со знаком свободного члена. Причина в том, что c действительно влияет на положение графика, но не задаёт его форму. Смотрите только на a: при a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз.

Ошибка 3. Считают, что c вертикально сдвигает всю параболу в общем виде. На самом деле c напрямую даёт лишь f(0), то есть пересечение с осью Oy, а вершина зависит от всех коэффициентов. Для проверки вычислите x₀ и y₀, а не используйте c как ординату вершины.

Ошибка 4. Параболу строят по одной точке или соединяют найденные точки отрезками. Одной точки недостаточно, а ломаная не передаёт плавную форму графика. Отметьте вершину, проведите ось симметрии, добавьте пары симметричных точек и соедините их плавной кривой.

Связь с другими темами

До изучения графика квадратичной функции нужны координаты точки, преобразования графиков и способы решения квадратных уравнений. Эти знания позволяют перейти от формулы к геометрическому изображению и найти точки пересечения с осями.

Парабола помогает решать квадратные неравенства: знак выражения определяют по положению графика относительно оси Ox. Вершина и множество значений используются при поиске наибольшего и наименьшего значений функции.

Далее свойства параболы связываются с экстремумами, производной и прикладными задачами на оптимизацию. График позволяет увидеть, при каком значении переменной результат становится максимальным или минимальным.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• Графиком квадратичной функции является парабола.
• Вершина параболы имеет абсциссу x₀ = −b/(2a).
• Ось симметрии параболы задаётся уравнением x = x₀.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Канонический вид функции: y = a(x − x₀)² + y₀.
• Корни функции соответствуют точкам пересечения параболы с осью Ox.