"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Линейное уравнение с двумя переменными задаёт связь между x и y: подходящих пар чисел обычно бесконечно много. Каждой такой паре соответствует точка координатной плоскости, а все эти точки вместе образуют график уравнения. Для линейного уравнения графиком служит прямая, поэтому её можно построить по двум различным решениям. Это помогает увидеть все решения сразу и пригодится при графическом решении систем уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Буквы a, b и c обозначают заданные числа, а x и y могут принимать разные значения. Например, 3x + y = 7 — линейное уравнение с двумя переменными. Такой вид помогает описывать связь между двумя величинами.
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Первое число пары ставят вместо x, второе — вместо y, поэтому порядок здесь важен. Например, для уравнения 3x + y = 7 пара (2; 1) подходит, а при перестановке чисел равенство уже не обязательно будет верным. Решения нужны, чтобы находить точки графика.
График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Координатная плоскость — это плоскость с осями x и y, на которой точку задают парой координат. Например, решению (2; 1) соответствует точка с координатой x = 2 и координатой y = 1. Поэтому график позволяет увидеть решения уравнения на плоскости.
Любую пару чисел (x; y) можно изобразить точкой: первое число задаёт положение по горизонтали, а второе — по вертикали. Если пара является решением уравнения, эта точка относится к его графику по определению. Например, подставив координаты точки (2; 1) в 3x + y = 7, получим верное равенство 7 = 7. Значит, эта точка лежит на графике.
Чтобы найти решения, выбирают число для одной переменной и вычисляют значение другой из уравнения. Так из одного выбранного значения получается одна конкретная пара, потому что после подстановки остаётся уравнение с одной неизвестной. Например, в x + 2y = 4 при x = 0 получаем 2y = 4, откуда y = 2, и решение — (0; 2). Другой выбор x обычно даст другую пару.
При b ≠ 0 можно перенести слагаемые и разделить уравнение на b: y = (c − ax)/b. Это запись вида y = kx + m, где k и m — числа; каждому значению x соответствует значение y по линейному правилу. График такой зависимости — прямая, потому что при равных изменениях x значение y меняется на одинаковую величину. Если b = 0, остаётся ax = c: x фиксирован, а y может быть любым, поэтому получается вертикальная прямая.
Для построения находят две различные пары решений, отмечают соответствующие точки и проводят через них прямую. Через две различные точки можно провести ровно одну прямую, поэтому этого достаточно, чтобы задать весь график. Отрезок между точками не подходит: уравнению соответствуют и точки за его пределами. Все точки прямой являются решениями, а значит, принадлежат графику.
Значения переменных удобно выбирать так, чтобы вычисления были простыми: например, брать ноль или числа, при которых результат получается целым. После вычисления проверьте пару в исходном уравнении, а не только в промежуточной записи. Такая проверка помогает заметить арифметическую ошибку или перепутанный знак. На графике координаты всегда записывают в порядке (x; y), иначе можно отметить другую точку.
| Случай или действие | Что сделать | Что получится |
|---|---|---|
| Оба коэффициента при переменных ненулевые | Выразить одну переменную через другую или подобрать значения одной переменной | Найти несколько решений и соответствующих им точек |
| Коэффициент при y равен нулю | Рассмотреть уравнение ax = c и определить координату x | Получить вертикальную прямую |
| Построение по двум решениям | Отметить две различные точки и провести через них прямую | График уравнения |
Сначала определите, какой случай дан: если коэффициент при y не равен нулю, найдите пары решений, а если равен нулю — установите постоянную координату x. Затем отметьте на плоскости точки, следя за порядком координат. Для обычной прямой возьмите две различные точки и проведите через них линию.
Нужно выяснить, получится ли верное равенство после подстановки координат пары на места переменных. Первое число, 2, относится к x, второе, 1, — к y. Поэтому подставляем именно в таком порядке.
Ответ: да, пара (2; 1) является решением уравнения. Подстановка проверяет сразу оба числа и их правильный порядок. Если бы после вычисления получились разные значения слева и справа, пара не подошла бы.
Для построения нужно получить три пары, хотя для самой прямой достаточно двух различных точек. Выберем удобные значения x, чтобы вычисление y было простым. Из уравнения следует 2y = 4 − x, поэтому y = (4 − x)/2.
Ответ: решения — (0; 2), (2; 1), (4; 0); график — проходящая через соответствующие точки прямая. Третья точка помогает проверить аккуратность построения. На прямой находятся и другие точки, не только выбранные три.
Сначала найдём две пары, подстановка которых обращает уравнение в верное равенство. Для удобства возьмём значения, при которых получится целое число. После построения отдельно проверим заданную точку подстановкой, чтобы не полагаться только на рисунок.
Ответ: график — прямая через точки (0; −2) и (3; 0); точка (0; −2) принадлежит графику. Она совпадает с одной из найденных точек. Проверка подстановкой подтверждает принадлежность точно, даже если рисунок построен неидеально.
Считать решением одно число, например только x, — ошибка: при двух переменных нужно указать пару (x; y). Её часто допускают, когда решают уравнение, выбирая значение только одной переменной. Проверьте себя: в записи должны быть оба числа и указано, какое относится к каждой переменной.
Если отметить (x; y) как (y; x), получится другая точка. Это случается из-за того, что координаты воспринимают как взаимозаменяемые, хотя первая отвечает за горизонталь, а вторая — за вертикаль. Перед отметкой прочитайте пару слева направо и проверьте положение точки по обеим осям.
Проводить только отрезок между найденными точками неверно: график включает всю прямую, а не только её часть. Отрезок выбирают потому, что на рисунке видны лишь несколько вычисленных решений. Проверьте построение: продолжите прямую в обе стороны и помните, что каждой её точке соответствует решение уравнения.
Две совпадающие точки не задают прямую, потому что через одну точку можно провести множество прямых. Такая ситуация возникает, если решения выбраны одинаковыми или координаты отмечены неточно. Убедитесь, что точки различны, и подставьте обе пары в исходное уравнение, прежде чем строить линию.
Перед изучением темы нужно уметь подставлять числа в выражения и проверять, верно ли равенство. Также важно уверенно находить координаты точки на плоскости и отмечать её по двум осям. Эти навыки позволяют получить решения и без ошибок перенести их на график.
Построение опирается на знакомый способ провести прямую через две точки. Позже графики линейных уравнений помогут изучать системы: решение системы соответствует точке, общей для графиков обоих уравнений. Так чертёж может показать, есть ли общее решение и каковы его координаты.
Что значит, что пара чисел является решением уравнения?
Это значит, что первое число можно подставить вместо x, а второе — вместо y, и после подстановки получится верное равенство. Например, для 3x + y = 7 пара (2; 1) подходит, потому что 3 · 2 + 1 = 7.
Почему график линейного уравнения — прямая?
Если коэффициент при y не равен нулю, уравнение можно выразить в виде y = kx + m. Значения x и y тогда связаны линейной зависимостью, графиком которой является прямая. Если коэффициент при y равен нулю, получается вертикальная прямая.
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно двух различных точек, потому что через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Чем точнее отмечены точки, тем точнее получится построение.
Как выбрать удобные значения переменных для построения?
Можно выбрать значения x, при которых вычисление y даёт целое число, или наоборот. Часто удобно подставить ноль: тогда найти вторую координату бывает проще. Каждую полученную пару проверьте подстановкой в исходное уравнение.
Может ли график линейного уравнения быть вертикальным?
Да, если коэффициент при y равен нулю, уравнение принимает вид ax = c. Тогда x имеет одно и то же значение, а y может быть любым, поэтому график — вертикальная прямая.
13. График линейного уравнения с двумя переменными
