41. График линейного уравнения с двумя переменными

Определения и обозначения

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа. Коэффициенты a и b не могут одновременно равняться нулю: иначе переменных в уравнении не останется. Такое уравнение описывает связь между двумя величинами, поэтому изменение одной переменной может влиять на другую.

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой в уравнение получается верное равенство. Например, пара (1; 2) является решением уравнения 2x + y = 4, потому что 2 · 1 + 2 = 4. Проверка нужна, чтобы отличить подходящие значения от случайно выбранных чисел.

График уравнения с двумя переменными — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения этого уравнения. Если пара (x; y) подходит, точка с координатами (x; y) лежит на графике. Благодаря графику можно увидеть сразу все решения уравнения, а не только те пары, которые мы вычислили.

Как это устроено

Решение записывают парой чисел, потому что в уравнении есть две переменные и для проверки нужно знать значение каждой. Подстановка выполняется в установленном порядке: первое число ставят вместо x, второе — вместо y. Затем вычисляют обе части равенства и сравнивают их; если они различаются, эта пара не является решением.

Каждое решение можно изобразить точкой на координатной плоскости: число x откладывают по горизонтальной оси, а число y — по вертикальной. Поэтому пара (2; 5) задаёт точку, расположенную на 2 единицы вправо и на 5 единиц вверх от начала координат. Переставить числа нельзя: точка (5; 2) имеет другие координаты и может не удовлетворять тому же уравнению.

Чтобы найти решения, выбирают значение одной переменной и подставляют его в уравнение, а затем вычисляют вторую. Например, в уравнении x + y = 3, если взять x = 1, получится y = 2. Иногда удобно выбирать такие числа, при которых вычисления проще; каждую полученную пару можно проверить исходным равенством.

График линейного уравнения обычно является прямой, потому что связь между x и y меняется равномерно. Чтобы провести через решения одну определённую прямую, достаточно найти две различные точки: через две точки проходит только одна прямая. Если построить лишь одну точку, через неё можно провести множество прямых, поэтому график останется неопределённым.

Строить график можно двумя способами. Если из уравнения легко выразить y через x, например получить y = kx + m, выберите два значения x и вычислите соответствующие y. Другой способ — составить таблицу нескольких решений: перенесите каждую пару на координатную плоскость и проведите через отмеченные точки прямую.

На графике уравнения x + y = 3 отмечены точки (0; 3) и (3; 0). Каждая из них подходит, поскольку сумма её координат равна 3. Через эти точки проходит прямая, и все её точки соответствуют решениям уравнения.

Вид линейного уравнения и его график

Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала определите вид уравнения, затем выберите подходящий способ нахождения точек. В уравнении ax = c переменная y отсутствует, поэтому подходят любые значения y при одном и том же x = c/a. Это даёт вертикальную прямую.

Разбор задач

Проверка пары чисел

Задача. Проверьте, является ли пара (1; 2) решением уравнения 2x + y = 4. Нужно проверить оба числа в правильном порядке: единицу подставить вместо x, двойку — вместо y. Одного совпадения с каким-либо числом в уравнении недостаточно: должно получиться верное равенство.

1. Подставим значения: 2 · 1 + 2.
2. Вычислим левую часть: 2 + 2 = 4.
3. Сравним с правой частью уравнения: она тоже равна 4.

Ответ: да, пара (1; 2) является решением уравнения 2x + y = 4. Проверка показывает, что подстановка этой пары сохраняет равенство.

Построение графика уравнения x + y = 3

Задача. Постройте график уравнения x + y = 3. Удобно выразить одну переменную через другую, чтобы быстро получать пары решений. Выразим y: y = 3 − x, а затем выберем значения x, для которых вычисления просты.

1. Пусть x = 0. Тогда y = 3 − 0 = 3, получаем пару (0; 3).
2. Пусть x = 3. Тогда y = 3 − 3 = 0, получаем пару (3; 0).
3. Проверим обе пары: 0 + 3 = 3 и 3 + 0 = 3. Отметим точки (0; 3) и (3; 0) и проведём через них прямую.

Ответ: график — прямая через точки (0; 3) и (3; 0). Другие решения, например (1; 2), тоже лежат на этой прямой, потому что сумма координат равна 3.

Таблица решений для уравнения 2x − 3y = 6

Задача. Составьте таблицу решений уравнения 2x − 3y = 6 и постройте график. Чтобы получить целые значения, удобно выразить y: −3y = 6 − 2x, значит y = (2x − 6)/3. Выберем значения x, при которых числитель делится на 3.

1. При x = 0 получаем y = −2, то есть решение (0; −2).
2. При x = 3 получаем y = 0, то есть решение (3; 0).
3. Составим таблицу и отметим полученные точки. Проведём через них прямую; обе пары удовлетворяют уравнению при подстановке.

Ответ: таблица даёт точки (0; −2) и (3; 0), через которые проходит график уравнения 2x − 3y = 6. Если есть сомнение в построении, можно выбрать дополнительное значение x, вычислить y и проверить, лежит ли полученная точка на проведённой прямой.

Типичные ошибки

Ошибка — считать решением только одно значение переменной. Так бывает, когда забывают, что в уравнении две неизвестные величины. Запишите оба значения в виде пары (x; y) и проверьте подстановкой: без второго числа проверить уравнение нельзя.

Иногда координаты записывают в обратном порядке: (y; x). Это происходит потому, что обе координаты — числа, но на плоскости первая относится к горизонтальной оси x, а вторая — к вертикальной y. Перед построением точки сверьте запись пары с подстановкой в уравнение: первое число должно заменить x.

Не всякая выбранная пара чисел является решением. Ошибку допускают, если сразу отмечают точку, не проверив равенство. Подставьте оба значения в исходное уравнение и убедитесь, что его левая и правая части совпадают.

Нельзя однозначно построить прямую по одной точке или провести её на глаз мимо найденных решений. Одну точку могут проходить разные прямые, поэтому построение получается неточным. Найдите как минимум две различные точки, отметьте их аккуратно и приложите линейку к обеим.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужно уметь отмечать точки по координатам на плоскости и подставлять числа вместо переменных. Эти навыки помогают переходить от вычислений к геометрическому изображению множества решений. Если координаты перепутаны или подстановка выполнена неверно, построенная точка не будет соответствовать уравнению.

Построение графиков линейных уравнений пригодится при изучении линейной функции: её значения также изображают точками прямой. Позже графический и вычислительный способы помогут исследовать системы уравнений с двумя переменными и находить общие решения.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Пару чисел проверяют подстановкой в уравнение.
• Каждому решению соответствует точка графика.
• График линейного уравнения — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две различные точки.
• Все точки прямой, и только они, соответствуют решениям уравнения.