"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые должны быть верны одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая обоим уравнениям. Каждое уравнение изображается прямой, поэтому число решений зависит от того, как расположены две прямые: они могут пересечься, быть параллельными или совпасть. Эта связь помогает находить решения и понимать, может ли их быть одно, ни одного или бесконечно много.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными записывают в виде ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа. Коэффициенты a и b стоят при переменных, c — свободный член. Если a = b = 0, уравнение рассматривают отдельно: оно превращается в равенство 0 = c. Такой случай не задаёт обычную прямую: равенство либо верно при любых значениях переменных, либо неверно всегда.
Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Первое число в паре ставят вместо x, второе — вместо y, поэтому порядок менять нельзя. Это определение позволяет проверить, подходит ли конкретная пара, и записать ответ к уравнению.
Система линейных уравнений с двумя переменными — это два линейных уравнения, которые требуется выполнить одновременно. Обычно их записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Скобка показывает, что уравнения рассматриваются не по отдельности: нужно найти значения переменных, подходящие сразу обоим.
Решением системы называют пару чисел, которая является решением каждого уравнения этой системы. Недостаточно получить верное равенство только в первой строке или только во второй. Это понятие нужно, чтобы отличать ответ системы от ответа отдельного уравнения и правильно проверять найденные числа.
Одно уравнение обычно допускает много решений, потому что в нём две переменные, а связаны они одним условием. Можно выбрать подходящее значение x, а затем найти такое y, чтобы равенство сохранилось. Например, в уравнении x + y = 5 подходят пары (0; 5), (2; 3) и (5; 0). Поэтому ответом часто служит не одна пара, а целое множество пар.
На координатной плоскости каждую пару (x; y) можно изобразить точкой: x задаёт её положение по горизонтали, а y — по вертикали. Для обычного линейного уравнения все точки, координаты которых удовлетворяют равенству, располагаются на одной прямой. Это происходит потому, что при изменении одной переменной значение другой должно меняться согласованно с уравнением. Так график помогает увидеть сразу все решения, а не проверять их по одному.
В системе требуется, чтобы пара чисел подходила сразу двум уравнениям. На графике это означает, что соответствующая точка должна лежать на каждой из двух прямых. Следовательно, решение системы — общая точка этих прямых, а её координаты и есть искомые x и y. Если общей точки нет, подходящей обеим прямым пары не существует.
Две прямые могут пересечься в одной точке, идти параллельно или полностью совпасть. При пересечении имеется одна общая точка, при параллельности без совпадения общих точек нет, а у совпавших прямых общими являются все их точки. Поэтому у системы может быть соответственно одно решение, ни одного решения или бесконечно много решений. Особое положение прямых объясняет, почему не у каждой системы ответ состоит из одной пары.
Число решений определяют по взаимному положению прямых, то есть рассматривают оба уравнения вместе. Найденную пару проверяют подстановкой: значение x ставят вместо x, а y — вместо y в каждое уравнение. Если оба равенства верны, пара действительно является решением системы. Если хотя бы одно равенство неверно, значит, в вычислениях или подстановке допущена ошибка.
| Взаимное расположение прямых | Что происходит с системой | Число решений |
|---|---|---|
| Прямые пересекаются в одной точке | Есть одна общая точка | Одно |
| Прямые параллельны и не совпадают | Общих точек нет | Ни одного |
| Прямые совпадают | Общими являются все точки прямых | Бесконечно много |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала представь графики обоих уравнений, а затем определи, как расположены прямые. Число общих точек сразу показывает число решений системы. Если нужно подтвердить конкретную найденную пару, подставь её координаты в оба уравнения.
Нужно найти пару, которая подходит обоим равенствам. Выразим y из первого уравнения и подставим это выражение во второе. После нахождения чисел проверим их в обеих строках системы.
Ответ: (3; 2). Оба равенства верны, значит, найденная пара является решением системы.
Чтобы определить число решений, сравним уравнения, а не будем искать одну случайную пару. Левая часть второго уравнения в два раза больше левой части первого, и свободный член тоже умножен на 2. Значит, второе равенство задаёт ту же прямую.
Ответ: бесконечно много решений. Например, (0; 4) подходит, но таких пар на этой прямой неограниченно много.
Сравним уравнения: коэффициенты при переменных во втором вдвое больше, чем в первом. Если умножить первое уравнение на 2, его левая часть совпадёт со второй, но свободный член станет равен 8, а не 10. Поэтому два уравнения не задают одну и ту же прямую.
Ответ: решений нет. Здесь важно сравнить не только коэффициенты при x и y, но и свободные члены.
Ошибка: назвать решением системы пару, которая удовлетворяет только одному уравнению. Так происходит, если проверить лишь ту строку, где числа были найдены. Подставь пару в каждое уравнение по очереди: ответ подходит системе, только если верны оба равенства.
Ошибка: поменять местами значения x и y при подстановке. Пара (2; 5) означает x = 2 и y = 5, а не наоборот; путаница возникает, когда забывают, что координаты упорядочены. Для самопроверки подпиши каждое число переменной и подставляй их в соответствующие места уравнения.
Ошибка: заключить, что у системы одно решение, рассмотрев только одно уравнение. Одно уравнение задаёт прямую и обычно имеет много решений, а число решений системы зависит от обеих прямых. Сначала учитывай оба уравнения, а затем проверь, пересекаются ли их графики, параллельны или совпадают.
Ошибка: считать, что пропорциональность коэффициентов уже доказывает совпадение прямых. Такое сравнение не учитывает свободные члены, поэтому прямые могут оказаться параллельными и разными. Умножь всё первое уравнение, включая правую часть, на общий множитель и сравни полученное равенство со вторым.
Для работы с системой нужно уметь подставлять числа вместо переменных и проверять, верно ли равенство. Также пригодится умение отмечать точку по координатам: первая координата относится к x, вторая — к y. Эти навыки позволяют проверить ответ и понять, где он находится на плоскости.
Тема опирается на линейную функцию и график прямой. Представление уравнения в виде прямой показывает, почему решения — это точки, а решение системы — общая точка графиков. С помощью графиков можно наглядно определить, сколько решений существует.
Системы используют при решении текстовых задач, когда условия связывают две неизвестные величины. В дальнейшем можно будет изучать разные способы решения систем и выбирать удобный для конкретного примера. Графическое представление помогает понять смысл ответа, даже когда вычисления выполняются другим способом.
Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Это упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой вместо переменных получается верное равенство. Порядок важен: первое число подставляют вместо x, второе — вместо y.
Чем решение уравнения отличается от решения системы?
Решение одного уравнения должно удовлетворять только ему. Решение системы должно одновременно подходить каждому уравнению, входящему в систему.
Почему решение системы изображается общей точкой двух прямых?
Каждая точка прямой соответствует паре чисел, удовлетворяющей уравнению этой прямой. Общая точка лежит на обеих прямых, поэтому её координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы.
Как понять, что система не имеет решений?
Если графики уравнений — параллельные несовпадающие прямые, у них нет общей точки. Значит, ни одна пара чисел не удовлетворяет сразу обоим уравнениям.
Почему совпадающие прямые дают бесконечно много решений?
У совпадающих прямых общими являются все их точки. Каждая такая точка задаёт пару чисел, подходящую обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много.
42. Системы линейных уравнений с двумя переменными
