"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Система линейных уравнений объединяет два или несколько условий с одними и теми же переменными. Её решение — пара чисел, которая подходит каждому уравнению сразу. На координатной плоскости каждому линейному уравнению соответствует прямая, а решения системы — общие точки этих прямых. Поэтому система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много. Это помогает разбирать задачи, в которых неизвестные величины связаны несколькими условиями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Например, 2x + 3y = 6 — такое уравнение. Оно задаёт связь между двумя неизвестными: можно подбирать значения одной переменной и находить подходящие значения другой.
Система линейных уравнений с двумя переменными — два или несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Обычно их записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Такая запись показывает, что недостаточно выполнить только одно условие: нужно найти значения переменных, подходящие каждому уравнению.
Решение системы — пара чисел (x; y), которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Первое число пары подставляют вместо x, второе — вместо y. Порядок важен: переставлять числа нельзя, поскольку переменные могут иметь разные значения.
Решить систему — значит найти все её решения или установить, что решений нет. Например, иногда подходит одна пара, а иногда подходят все пары, удовлетворяющие одному и тому же условию. Это понятие помогает не только получить ответ, но и определить, все ли возможные варианты найдены.
Решение системы проверяют сразу в обоих уравнениях, потому что каждое из них задаёт отдельное условие. Пара, верная для первого уравнения, может оказаться неверной для второго. Например, числа могут подходить для одного соотношения между x и y, но нарушать другое. Поэтому проверка только одного равенства не подтверждает, что найдено решение системы.
Линейное уравнение связывает значения x и y так, что всем подходящим парам соответствуют точки на координатной плоскости. Если выразить y через x, получается линейная функция вида y = kx + b, график которой — прямая. Каждая её точка имеет координаты (x; y), удовлетворяющие исходному уравнению. И наоборот: любая пара, удовлетворяющая уравнению, задаёт точку этой прямой.
Для системы нужно найти пары, которые подходят каждому уравнению, то есть точки, принадлежащие обеим прямым. Такая точка называется общей, а её координаты являются решением системы. Если прямые пересекаются, их общая точка одна; если не имеют общих точек, не найдётся пары, подходящей обоим уравнениям. Если прямые совпали, каждая их точка подходит обоим уравнениям.
Именно поэтому у системы возможны три случая: одно решение, ни одного или бесконечно много. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку — получается одна пара чисел. Параллельные и не совпадающие прямые не пересекаются, поэтому решений нет. Совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек, значит, система имеет бесконечно много решений.
Графический способ помогает увидеть, что означает решение, и оценить, сколько решений у системы. Для него строят прямые и находят их общие точки. Однако линия на чертеже может быть проведена неточно, а точку пересечения не всегда удаётся прочитать по клеткам. Поэтому график особенно полезен для наглядности, а точные координаты лучше дополнительно проверять подстановкой или находить вычислениями.
| Взаимное расположение прямых | Общие точки | Число решений системы |
|---|---|---|
| Пересекаются | Одна | Одно |
| Параллельны и не совпадают | Нет | Ни одного |
| Совпадают | Бесконечно много | Бесконечно много |
Сначала определи, как расположены графики двух уравнений, а затем найди соответствующую строку таблицы. Число общих точек показывает число решений системы, потому что каждой общей точке отвечает одна пара координат. Если построение неточное, вывод по графику стоит проверить по самим уравнениям.
Решите систему: y = x + 1, y = 3 − x. Оба уравнения уже выражают y через x, поэтому удобно построить их графики и найти пересечение. Чтобы построить каждую прямую, достаточно отметить несколько точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Точку пересечения нужно записать в порядке (x; y).
Ответ: (1; 2). Это общая точка графиков, поэтому её координаты подходят обоим уравнениям системы.
Решите систему: 2x + y = 7, x − y = 2. Второе уравнение проще: из него удобно выразить y. Подстановка выражения в первое уравнение оставит только одну переменную, а затем можно будет найти вторую. В конце обязательно проверим пару в исходных равенствах.
Ответ: (3; 1). Пара подходит каждому уравнению, значит, это решение системы.
Периметр прямоугольника равен 34 см, а длина на 5 см больше ширины. Обозначим ширину через x, а длину через y. Периметр состоит из двух ширин и двух длин, поэтому первое условие связывает стороны уравнением 2x + 2y = 34. Второе условие даёт уравнение y = x + 5.
Ответ: ширина прямоугольника 6 см, длина 11 см. Оба условия задачи выполнены.
Ошибка: считать решением пару, которая удовлетворяет только одному уравнению. Так бывает, если проверить лишь то равенство, из которого нашли значение, и забыть об остальных условиях. Подставь пару во все уравнения по очереди: решение должно сделать верными каждое из них. Если хотя бы одно равенство неверно, ответ нужно исправить.
Ошибка: записывать координаты точки пересечения в порядке (y; x), хотя принято указывать (x; y). Перепутать числа легко, если сначала находили значение y или смотрели на график. Проверь, какое число относится к горизонтальной оси x, а какое — к вертикальной оси y. Затем подставь пару в уравнения в том же порядке.
Ошибка: считать приблизительно найденную по чертежу точку точным решением. Масштаб, толщина линий и аккуратность построения могут сдвинуть видимое пересечение. Проверь координаты подстановкой в оба уравнения или реши систему вычислениями. Если полученные значения не дают точных равенств, графический результат был приближённым.
Ошибка: делать вывод об отсутствии или бесконечном числе решений по неаккуратно построенным прямым. Почти параллельные линии на чертеже могут показаться совпадающими, а небольшой промах — скрыть пересечение. Сверь построение с уравнениями и проверь, действительно ли они задают параллельные или совпадающие прямые. При сомнении найди решение другим способом.
Чтобы изучать системы, нужно уметь решать линейные уравнения: это пригодится при преобразованиях и подстановках. Также важно уметь строить график линейной функции и читать координаты точек на плоскости. Понятие графика уравнения помогает увидеть, почему решение системы связано с пересечением прямых. Позже системы пригодятся для решения текстовых задач с несколькими неизвестными и для освоения других способов решения.
Почему решение системы записывают парой чисел?
В уравнении участвуют две переменные, поэтому нужно указать значение каждой из них. Пара (x; y) показывает сначала значение x, затем значение y.
Как проверить, является ли пара чисел решением системы?
Подставь первое число вместо x, а второе — вместо y в каждое уравнение. Если все равенства верны, пара является решением системы; если хотя бы одно неверно — нет.
Почему график линейного уравнения с двумя переменными — прямая?
После выражения одной переменной через другую уравнение принимает вид линейной зависимости, например y = kx + b. Такой зависимости соответствует прямая, а координаты каждой её точки удовлетворяют уравнению.
Может ли система иметь бесконечно много решений?
Да, если графики уравнений совпадают, каждая точка одной прямой принадлежит и другой. Тогда координаты всех этих точек являются решениями системы.
Почему графический способ не всегда позволяет точно найти решение?
При построении возможны небольшие погрешности, а координаты точки пересечения иногда трудно определить по клеткам. График хорошо показывает смысл решения, но точные значения надёжнее проверить подстановкой или найти вычислениями.
42. Системы линейных уравнений с двумя переменными
