"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Система линейных уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же переменными, которые должны выполняться одновременно. Обычно нужно найти пару значений, подходящую каждому уравнению. Для этого выражают одну переменную через другую или складывают уравнения так, чтобы исключить переменную. После нахождения пары её проверяют в исходных уравнениях. У системы может быть одно решение, ни одного или бесконечно много.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений с двумя переменными — два или более уравнения, которые должны выполняться для одной и той же пары значений переменных. Например, в системе с x и y нельзя взять одну пару для первого уравнения, а другую — для второго. Это понятие нужно, когда два условия относятся к одним и тем же неизвестным.
Решение системы — пара значений переменных, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Если пара подходит только к одному уравнению, она ещё не является решением всей системы. Это определение помогает точно проверить ответ: подставить значения нужно в каждое уравнение.
Решить систему — значит найти все её решения или установить, что решений нет. Иногда ответом будет одна пара, иногда подходящих пар окажется несколько. Поэтому недостаточно просто получить какое-то значение переменной: нужно понять, все ли возможные решения найдены.
Равносильные системы — системы, у которых один и тот же набор решений. Их можно преобразовывать при решении, если преобразование не теряет подходящие пары и не добавляет неподходящие. Это позволяет заменять исходную систему более простой, но сохранять её ответ.
Пара значений является решением только тогда, когда одновременно выполняются все уравнения системы. Каждое уравнение задаёт своё условие, а система требует соблюсти их вместе. Поэтому найденную пару проверяют подстановкой: значения переменных ставят на их места и вычисляют обе части каждого равенства. Если хотя бы одно равенство неверно, пара не подходит.
При методе подстановки сначала выбирают уравнение, где переменную легко выразить через другую. Например, если записано y = 2x + 1, то выражение для y уже готово. Его подставляют вместо y во второе уравнение, и вместо двух переменных остаётся одна. Такой переход удобен, потому что линейное уравнение с одной переменной можно решить привычными преобразованиями.
Найдя одну переменную, нельзя считать решение законченным: система требует пару значений. Подставь найденное число в исходное уравнение, где удобно вычислить оставшуюся переменную. Затем проверь полученную пару в обоих исходных уравнениях, а не только в том, из которого вычислял. Так можно заметить ошибку в вычислениях или преобразовании.
Другой способ — сложить или вычесть уравнения так, чтобы коэффициенты одной переменной взаимно уничтожились. Например, если коэффициенты x одинаковые, вычитание уравнений уберёт x; если они противоположные, достаточно сложения. Когда коэффициенты не подходят, уравнения предварительно умножают на числа, чтобы получить одинаковые или противоположные коэффициенты. Это преобразование удобно тем, что после исключения переменной остаётся уравнение только с одной неизвестной.
Любое преобразование системы должно сохранять её решения: именно поэтому можно заменять систему равносильной и решать более простую. Если после преобразований вышло неверное равенство, например 0 = 3, исходная система решений не имеет. Если получилось верное равенство 0 = 0, ограничения на переменные не осталось: при пропорциональных уравнениях решений бесконечно много. В остальных обычных случаях система может привести к одной паре, которую затем проверяют.
| Способ | Основное действие | Когда удобно применять | Что сделать после нахождения одной переменной |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить переменную из одного уравнения и подставить выражение в другое | Когда одну переменную легко выразить, особенно если её коэффициент равен 1 или −1 | Подставить найденное значение в исходное уравнение и найти вторую переменную |
Сначала посмотри на коэффициенты и оцени, какой способ даст меньше вычислений. Если переменная уже выражена или легко выражается, обычно выбирают подстановку. Если коэффициенты можно быстро сделать противоположными, удобно сложение или вычитание.
Задача 1. Решить систему: y = 2x + 1, x + y = 7. Выражение для y дано сразу, поэтому применим подстановку. Так мы сведём систему к одному уравнению с x.
Ответ: (2; 5). Здесь подстановка сразу дала одно уравнение, а исходное равенство помогло найти вторую координату.
Задача 2. Решить систему: 2x + 3y = 13, 2x − y = 5. Коэффициенты при x одинаковы, поэтому вычтем второе уравнение из первого: x исчезнет. Затем восстановим значение x подстановкой.
Ответ: (3,5; 2). При вычитании скобки важны: перед вторым выражением стоит минус, поэтому знак −y меняется на +y.
Задача 3. Решить систему: 3x + 2y = 8, 6x + 4y = 15. Левая часть второго уравнения вдвое больше левой части первого. Сравним правые части, чтобы проверить, могут ли оба условия выполняться для одной пары.
Ответ: решений нет. Противоречие возникло при равносильном преобразовании, значит оно показывает, что исходная система несовместна.
Считать решением пару, которая удовлетворяет лишь одному уравнению, — значит проверить только часть условий. Так бывает, если после нахождения переменных ученик забывает про второе равенство. Подставь пару во все уравнения системы: каждое должно стать верным.
При подстановке можно потерять скобки или неправильно раскрыть их, особенно если перед скобками стоит минус. Тогда знак одного или нескольких слагаемых меняется неверно, и получается другое уравнение. Записывай подстановку в скобках и проверяй раскрытие знаков отдельным шагом.
При сложении можно случайно сложить коэффициенты переменной, которую нужно исключить, и получить не ноль. Например, одинаковые коэффициенты исчезают при вычитании, а не при сложении. Перед действием проверь, какие коэффициенты должны сложиться в ноль; если нужно, сначала умножь уравнение.
Записать только найденное значение x или y недостаточно: решение системы — пара. Вторую переменную находят подстановкой в исходное уравнение, иначе ответ останется неполным. В конце проверь пару в обоих исходных равенствах, чтобы убедиться, что не допущена ошибка.
Для решения систем нужны навыки из предыдущих тем: решение линейных уравнений с одной переменной, выражение одной переменной через другую и преобразование равенств. Эти умения позволяют свести систему к более простому уравнению и не потерять её решения. Если с вычислениями трудно, полезно сначала повторить раскрытие скобок и перенос слагаемых.
Системы помогают решать текстовые задачи с двумя неизвестными и двумя условиями. Например, можно обозначить переменными количества или цены, а условия задачи записать как уравнения. Решение системы тогда даёт значения, которые должны одновременно удовлетворять обоим условиям.
Эта тема подготавливает к изучению систем более высокого порядка и графических способов исследования. В частности, уравнения можно будет связывать с графиками и искать их общие точки. Навык преобразовывать систему и понимать число её решений пригодится и в таких задачах.
Что именно называют решением системы уравнений?
Это пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы становится верным равенством. Например, если уравнений два, пара должна подойти сразу к обоим.
Как понять, какое уравнение удобнее использовать для подстановки?
Ищи уравнение, из которого одну переменную проще выразить: например, её коэффициент равен 1 или −1. Тогда выражение получается без деления на сложное число.
Почему при сложении уравнений иногда предварительно умножают их на числа?
Умножение помогает сделать коэффициенты одной переменной противоположными. При сложении такие коэффициенты дают ноль, и переменная исключается.
Как проверить, что найденная пара действительно решает систему?
Подставь оба значения в каждое исходное уравнение по отдельности. Если в обоих равенствах левая и правая части совпали, пара является решением.
Как определить, что система не имеет решений или имеет их бесконечно много?
Если после преобразований получается неверное равенство, например 0 = 1, решений нет. Если получается верное равенство вроде 0 = 0, уравнения задают одно и то же условие и решений бесконечно много.
§ 16. Решение систем линейных уравнений
