43. Способ подстановки

Определения и обозначения

Система уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые нужно решить одновременно. Например, запись с фигурной скобкой объединяет уравнения x + y = 7 и x − y = 1. Значения переменных должны подходить каждому уравнению, а не только одному из них. Это определение нужно, чтобы отличать решение системы от решения отдельного уравнения.

Решение системы — набор значений переменных, при котором все уравнения системы становятся верными равенствами. Для двух неизвестных решение обычно записывают парой (x; y), где первое число относится к x, а второе — к y. Например, в системе x + y = 7, x − y = 1 пара (4; 3) подходит сразу обоим уравнениям. Понятие решения помогает понять, какую пару нужно найти и проверить.

Способ подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение. После подстановки остаётся уравнение с одной неизвестной. Это полезно, потому что такое уравнение обычно проще решить, чем систему из двух уравнений. Затем найденное значение позволяет вычислить вторую переменную.

Выразить переменную — значит записать её равной выражению с другой переменной, например из x + y = 7 получить y = 7 − x. Запись показывает, как меняется одна переменная при изменении другой. Она нужна, чтобы выполнить подстановку, не теряя равенства между величинами. Выбирать обычно удобно ту переменную, коэффициент которой равен 1 или −1.

Как это устроено

В системе связаны две неизвестные, поэтому решение только одного уравнения обычно оставляет много возможных пар. Чтобы сократить число неизвестных, сначала находят связь, выражая одну переменную через другую. Например, из x + y = 7 следует y = 7 − x: если известно x, значение y уже определено. Именно эта связь позволяет заменить две неизвестные одной.

Выражение получают равносильными преобразованиями: к обеим частям уравнения прибавляют или из обеих частей вычитают одно и то же число либо выражение. Такие действия сохраняют решения, потому что равенство не нарушается. В примере x + y = 7 вычитаем x из обеих частей и получаем y = 7 − x. Если переменная стоит с коэффициентом, сначала удобно освободить её от остальных слагаемых, а затем разделить обе части на коэффициент.

Полученное выражение подставляют вместо соответствующей переменной во второе уравнение. Это допустимо, потому что выражение и переменная равны, а значит, в равенстве их можно заменять друг другом. Если подставляемое выражение заключено в скобки, скобки помогают сохранить его целиком и правильно учесть знак перед ним. После замены одно уравнение системы содержит только одну неизвестную.

Решив уравнение с одной неизвестной, находят значение первой переменной. Но это ещё не вся пара, поэтому найденное число возвращают в выражение для другой переменной. Например, если y = 7 − x и найдено x = 4, то y = 7 − 4 = 3. Важно подставить число именно в выражение, которое было получено из исходной системы.

В конце проверяют оба исходных уравнения, поскольку пара должна удовлетворять им одновременно. Для пары (4; 3) получаем 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1, оба равенства верны. Если проверка не проходит хотя бы в одном уравнении, значит, где-то допущена ошибка в преобразовании, вычислении или подстановке. Проверка также помогает не перепутать порядок чисел в ответе.

Шаги способа подстановки

Пользуйся таблицей как памяткой: переходи к следующему шагу, когда выполнил предыдущий. Если в уравнении легко выделить переменную, начинай с него. Не пропускай проверку — она выявляет ошибки, которые могли появиться при раскрытии скобок или вычислениях.

Разбор задач

Задача. Решить систему x + y = 7, x − y = 1 способом подстановки. Нужно найти пару чисел, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям. В первом уравнении коэффициент при y равен 1, поэтому y легко выразить через x. Такой выбор позволяет избежать деления на дробь и делает вычисления короче.

1. Выразим y из первого уравнения: x + y = 7. Вычтем x из обеих частей и получим y = 7 − x. Мы не выбираем значение x заранее, а записываем точную связь между переменными.
2. Подставим вместо y выражение 7 − x во второе уравнение. Получится x − (7 − x) = 1. Скобки нужны, потому что вычитается всё выражение 7 − x, а не только число 7.
3. Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри: x − 7 + x = 1. Сложим подобные слагаемые и получим 2x − 7 = 1. Прибавим 7 к обеим частям: 2x = 8, поэтому x = 4.
4. Найдём y, подставив x = 4 в выражение y = 7 − x. Получаем y = 7 − 4 = 3. Теперь есть оба значения, и их можно записать в порядке переменных: сначала x, затем y.
5. Проверим пару (4; 3) в исходных уравнениях. В первом: 4 + 3 = 7; во втором: 4 − 3 = 1. Оба равенства верны, значит, пара действительно является решением системы.

Ответ: (4; 3). Рассуждение можно проверить и по смыслу: сумма чисел равна 7, а первое число на 1 больше второго. Найденные числа 4 и 3 обладают обоими свойствами. Если бы одно из равенств не выполнялось, ответ пришлось бы пересмотреть.

Типичные ошибки

Ошибка при выражении переменной. Например, из x + y = 7 неверно получить y = 7 + x: при переносе x в другую часть знак меняется. Так ошибаются, когда запоминают действие как механическое «перенесение», не сохраняя равенство. Проверь себя обратной подстановкой: равенство y = 7 − x должно давать исходное x + y = 7.

Ошибка при раскрытии скобок. В выражении x − (7 − x) некоторые записывают x − 7 − x, хотя должно быть x − 7 + x. Причина — забывают, что минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри. Чтобы проверить себя, раскрывай скобки по одному слагаемому и сверяй результат с исходным выражением.

Ошибка в порядке значений. Пару (3; 4) могут записать вместо (4; 3), если найденные числа не сопоставили с переменными. Такая путаница возникает, когда значения x и y вычисляют в разном порядке. Проверяй каждое число в обоих исходных уравнениях и подписывай, какое относится к x, а какое — к y.

Ошибка: не проверить второе уравнение. Найденные значения могут подходить уравнению, из которого выражали переменную, но не подходить другому уравнению. Это случается, если считать решение промежуточного уравнения окончательным ответом. Подставь пару отдельно в каждое исходное равенство: только две верные проверки подтверждают ответ.

Связь с другими темами

Способ подстановки опирается на свойства равенств: если к обеим частям прибавить одно и то же выражение или разделить обе части на одно и то же ненулевое число, равенство сохранится. Для решения после подстановки нужны навыки решения линейных уравнений и приведения подобных слагаемых. Раскрытие скобок связывает эту тему с распределительным свойством умножения, а проверка ответа — с подстановкой чисел в буквенные выражения. Другой способ решения систем — сложение уравнений; выбор метода зависит от того, какие преобразования удобнее.

Что запомнить

• При подстановке одну переменную выражают через другую и заменяют ею эту переменную во втором уравнении.
• После замены решают уравнение с одной неизвестной, а затем находят значение второй переменной.
• Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри скобок.
• Решение системы — пара значений, подходящая каждому исходному уравнению.
• Проверяй найденную пару в обоих уравнениях и записывай значения в порядке переменных.