"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Способ сложения помогает решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Уравнения умножают на подходящие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, а затем складывают: эта переменная исчезает. Остаётся уравнение с одной переменной, после решения которого находят вторую подстановкой. Главное — умножать все члены уравнения и проверить найденную пару в обоих исходных уравнениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые нужно выполнить одновременно. Обычно переменные обозначают x и y, а уравнения записывают рядом и объединяют фигурной скобкой. Такая запись нужна, когда требуется найти значения обеих переменных, подходящие сразу к двум условиям.
Решение системы — пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Например, запись x = 4, y = 3 задаёт одну пару чисел. Проверять нужно оба равенства: верность только одного ещё не означает, что пара является решением системы.
Равносильные системы — системы, у которых совпадают все решения. При решении мы преобразуем уравнения, поэтому важно не потерять подходящие пары и не добавить неподходящие. Если каждое преобразование сохраняет набор решений, то решение полученной системы будет решением исходной.
Способ сложения — способ решения системы, при котором уравнения преобразуют так, чтобы при сложении исчезла одна переменная. Для этого коэффициенты при ней делают противоположными: например, 5 и −5. Метод нужен, чтобы свести два уравнения с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.
Уравнение можно умножить на любое ненулевое число, не изменив его решений. Если равенство верно, умножение его левой и правой частей на одно и то же число сохраняет равенство; обратное деление тоже возможно, поскольку число не равно нулю. Поэтому преобразованная система остаётся равносильной исходной, если мы не забываем умножить каждый член.
Сначала выбирают, какую переменную удобнее исключить, и сравнивают её коэффициенты. Например, если при y стоят числа 2 и 3, можно умножить первое уравнение на 3, а второе на −2: появятся коэффициенты 6 и −6. Множители подбирают так, чтобы получились одинаковые по величине числа с разными знаками; тогда при сложении они дадут ноль.
Складывают уравнения почленно: левую часть первого слагают с левой частью второго, а правую — с правой. Если коэффициенты при y равны 6 и −6, то 6y + (−6y) = 0, и переменная y исчезает. Полученное равенство содержит только x, поэтому его можно решить обычными действиями с линейным уравнением.
Значение исключённой переменной после сложения найти нельзя — она как раз исчезла. Поэтому найденное значение, например x, подставляют в одно из исходных уравнений и вычисляют y. Подстановка удобна тем, что одно неизвестное уже известно, и уравнение превращается в простое вычисление.
В конце подставляют найденные значения в оба исходных уравнения. Это нужно потому, что при вычислениях можно ошибиться со знаком или арифметикой, а одно уравнение не проверяет выполнение второго. Если оба равенства верны, пара действительно является решением системы.
Таблица показывает последовательность действий и смысл каждого шага. Используй её как план: перед сложением проверь коэффициенты, а после нахождения одной переменной не останавливайся. Заверши решение подстановкой и проверкой исходной пары.
| Этап | Что сделать | Зачем |
|---|---|---|
| Подготовка уравнений: выбрать переменную для исключения | Сравнить коэффициенты при переменных | Выбрать удобную переменную |
| Уравнивание коэффициентов: при необходимости умножить уравнения на ненулевые числа | Сделать коэффициенты противоположными | Чтобы переменная сократилась |
| Сложение уравнений: получить уравнение с одной переменной | Сложить левые и правые части | Свести систему к одному уравнению |
| Нахождение второй переменной: подставить найденное значение | Использовать исходное уравнение | Получить полную пару |
| Проверка пары: подставить её в оба исходных уравнения | Вычислить обе стороны равенств | Убедиться в правильности ответа |
Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому переменная уже готова к исключению. Складываем уравнения, чтобы получить значение x, а затем подставляем его в одно из исходных равенств.
Ответ: x = 4, y = 3.
При x коэффициенты одинаковые, поэтому сложение не уберёт эту переменную. Вычтем второе уравнение из первого: одинаковые слагаемые 2x сократятся. Затем восстановим x подстановкой найденного y.
Ответ: x = 7/2, y = 2.
Коэффициенты при y — 2 и −3, они пока не противоположны. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: коэффициенты станут 6 и −6. После сложения найдём x и подстановкой вычислим y.
Ответ: x = 50/19, y = 77/19.
Умножают только часть уравнения. Например, умножают коэффициент при x, но забывают про остальные слагаемые или правую часть. Так получается уже другое, неравносильное уравнение; ошибка часто возникает из-за спешки. Проверь себя: каждый член слева и число справа должны быть умножены на один и тот же множитель.
Складывают уравнения, хотя коэффициенты не противоположны. Тогда выбранная переменная не исчезает, и вместо уравнения с одной переменной получается уравнение с двумя. Так бывает, если не проверить знаки и величины коэффициентов заранее. Перед сложением сложи только коэффициенты выбранной переменной: их сумма должна быть равна нулю.
Ошибаются со знаками при сложении или вычитании. Особенно легко потерять знак минус перед скобками, когда вычитают одно уравнение из другого. Из-за этого меняются коэффициенты или свободные члены и дальнейшее решение становится неверным. Выполняй действие отдельно для каждого слагаемого и отдельно для правых частей, а результат проверь повторным раскрытием скобок.
Принимают значение одной переменной за решение всей системы. После сложения действительно получается число для x или y, но ответом должна быть пара. Ошибку допускают, если останавливаются сразу после решения полученного уравнения. Подставь найденное значение в исходное уравнение, вычисли вторую переменную и проверь оба равенства.
Для способа сложения нужны навыки преобразования линейных уравнений: умение раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с отрицательными числами. Также важно помнить, что умножение обеих частей равенства на ненулевое число сохраняет его решения. Эти умения помогают аккуратно преобразовать систему.
Способ сложения используют при решении разных систем линейных уравнений. Системы встречаются и в задачах, где нужно найти два неизвестных числа по двум условиям, например по их сумме и разности. После составления уравнений можно выбрать удобный метод решения, а сложение особенно полезно, когда коэффициенты легко сделать противоположными.
Зачем умножать уравнения перед сложением?
Умножение помогает сделать коэффициенты при одной переменной противоположными. Тогда при сложении эта переменная сокращается, и система становится проще.
Можно ли умножить только одно уравнение системы?
Да, можно изменить одно уравнение или оба — как удобнее для получения противоположных коэффициентов. Умножать нужно на ненулевое число и каждый член уравнения, включая правую часть.
Как понять, на какие числа нужно умножить уравнения?
Выбери переменную, которую собираешься исключить, и посмотри на её коэффициенты. Подбери множители так, чтобы после умножения коэффициенты стали равны по модулю и противоположны по знаку.
Когда приём сложения заменяют вычитанием?
Если коэффициенты при выбранной переменной одинаковые, её удобно исключить вычитанием уравнений. Вычитание можно также представить как сложение одного уравнения с другим, умноженным на −1.
Почему ответ нужно проверить в обоих уравнениях?
Преобразования и вычисления могли содержать ошибку, а пара должна удовлетворять каждому уравнению системы. Подстановка в оба исходных уравнения подтверждает, что оба равенства верны.
44. Способ сложения
