"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Способ сложения помогает решить систему линейных уравнений, исключив одну из неизвестных. Для этого уравнения при необходимости умножают на ненулевые числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, а затем складывают. Оставшееся уравнение даёт значение одной неизвестной; подстановка помогает найти вторую. В конце пару проверяют в обоих исходных уравнениях: только так можно убедиться, что она подходит системе целиком.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые нужно решить одновременно. Например, запись x + y = 7, x − y = 1 означает, что значения x и y должны подходить сразу к обеим строкам. Это понятие нужно, чтобы не искать решение каждого уравнения отдельно.
Решение системы — значения неизвестных, при которых каждое уравнение системы становится верным. Для системы с x и y решением обычно служит пара чисел, например x = 4, y = 3. Проверка обоих равенств показывает, действительно ли пара подходит всей системе.
Способ сложения — способ решения системы, при котором уравнения преобразуют и складывают, чтобы исключить одну из неизвестных. Исключить — значит получить уравнение, в котором этой неизвестной уже нет. Такой приём упрощает задачу: вместо двух переменных остаётся одна.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. Если умножить обе части уравнения на ненулевое число, его решения не изменятся, поэтому можно получить равносильную систему. Это позволяет менять вид уравнений, не теряя правильного ответа.
В системе каждое уравнение задаёт своё условие для неизвестных. Если пара чисел подходит только одному уравнению, она ещё не является решением системы: второе условие тоже может нарушаться. Поэтому цель — найти такие значения, которые одновременно делают верными все равенства.
Чтобы сложение помогло, при одной неизвестной нужны коэффициенты, равные по модулю и противоположные по знаку, например 3 и −3. Если таких коэффициентов пока нет, уравнение или оба уравнения умножают на подходящие числа. Умножать надо каждую часть уравнения целиком: тогда равенство сохраняется, а система остаётся равносильной исходной.
При сложении противоположные слагаемые взаимно уничтожаются: 3y + (−3y) = 0. Поэтому в сумме уравнений переменная y исчезает, и получается уравнение только с x, либо наоборот. Если коэффициенты не противоположны, переменная не исчезнет, поэтому перед сложением нужно проверить их знаки и значения.
Сначала выбирают неизвестную, которую проще исключить, и подготавливают коэффициенты. Затем складывают левые части между собой и правые части между собой, решают полученное уравнение и находят оставшуюся неизвестную подстановкой в одно из исходных уравнений. Подставлять удобнее в исходное равенство, потому что оно обычно короче преобразованного.
После вычислений пару проверяют в обоих уравнениях исходной системы. Это нужно потому, что при сложении использовались сразу два равенства, а ошибка со знаком или делением может дать неверное значение. Если подстановка подтверждает каждое равенство, пара является решением системы.
| Этап | Действие | Зачем это нужно |
|---|---|---|
| Выбор неизвестной для исключения | Решить, какая переменная удобнее для устранения | Чтобы сократить вычисления |
| Подготовка коэффициентов | При необходимости умножить обе части уравнений | Чтобы коэффициенты стали противоположными |
| Сложение уравнений | Сложить левые части и правые части | Чтобы исключить выбранную переменную |
| Нахождение второй неизвестной | Подставить найденное значение в исходное уравнение | Чтобы получить значение оставшейся переменной |
| Проверка решения | Подставить пару в оба уравнения | Чтобы убедиться, что решение верно |
Пользуйтесь таблицей как планом: переходите к следующему этапу, когда выполнили предыдущий. Если переменная после сложения не исчезла, вернитесь к подготовке коэффициентов и проверьте знаки. В конце проверяйте именно исходные уравнения, а не только полученную сумму.
Решить систему: x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y — 1 и −1, значит, складывать можно сразу. После этого останется уравнение только с x.
Решить систему: 2x + 3y = 13, 4x − 3y = 5. При y уже стоят противоположные коэффициенты 3 и −3, поэтому преобразовывать уравнения не нужно. Сложение избавит от y и позволит найти x.
Решить систему: 3x + 2y = 8, 5x − 3y = 7. Коэффициенты при y равны 2 и −3, поэтому при сложении переменная не исчезнет. Умножим уравнения так, чтобы получить 6y и −6y.
Умножают только один член уравнения. Например, при умножении на 2 меняют 3x, но забывают умножить остальные члены и правую часть. Так равенство нарушается, потому что умножена не каждая его часть. Для самопроверки обведите всё уравнение и убедитесь, что множитель применён ко всем слагаемым с обеих сторон.
Складывают уравнения без противоположных коэффициентов. Ученик может увидеть похожие коэффициенты, но не проверить их знаки и величины; тогда выбранная переменная останется в сумме. Перед сложением выпишите коэффициенты отдельно и проверьте, что их сумма равна нулю. Если нет, сначала подготовьте уравнения умножением.
Неверно учитывают знаки при сложении. Особенно легко ошибиться, если складываются отрицательное число и свободный член, или выражение в скобках. Ошибка возникает, когда складывают модули чисел, забывая о знаке. Перепишите сложение по столбцам или раскрывайте скобки внимательно, а затем проверьте вычисление обратным действием.
Не проверяют найденную пару. Из-за пропущенной проверки арифметическая ошибка может остаться незамеченной, даже если ход решения был верным. Подставьте оба найденных числа в каждое исходное уравнение и вычислите левые части. Если хотя бы одна не совпадает с правой, вернитесь к вычислениям.
Для способа сложения нужны навыки решения линейных уравнений и преобразования равенств. В частности, важно уметь умножать обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, раскрывать скобки и аккуратно выполнять действия с отрицательными числами. Эти умения помогают правильно подготовить систему к сложению.
Способ сложения применяют при решении систем линейных уравнений, а также текстовых задач, которые можно записать в виде таких систем. Сначала условия задачи переводят в уравнения, затем находят пару неизвестных и проверяют её смысл. Так алгебраический ответ связывается с исходной задачей.
Зачем умножать уравнения перед сложением?
Чтобы получить противоположные коэффициенты при одной и той же неизвестной. При сложении такие слагаемые дают ноль, и неизвестная исключается.
Можно ли умножить только одно уравнение системы?
Да, если этого достаточно, чтобы коэффициенты при выбранной неизвестной стали противоположными. Умножать нужно обе части уравнения на одно и то же ненулевое число.
Как понять, на какое число нужно умножить уравнения?
Нужно посмотреть на коэффициенты при неизвестной, которую удобно исключить. Подберите множители так, чтобы после умножения коэффициенты стали равными по модулю, но имели разные знаки.
Что делать, если после сложения обе неизвестные не исчезли?
Проверьте коэффициенты: при одной неизвестной они должны быть противоположными. Если это не так, сначала умножьте одно или оба уравнения на подходящие ненулевые числа.
Почему найденную пару нужно подставить в оба уравнения?
Решение системы должно удовлетворять каждому её уравнению одновременно. Проверка в обоих уравнениях помогает обнаружить ошибку в вычислениях или подстановке.
§ 35. Способ сложения
