§ 35. Способ сложения

Определения и обозначения

Способ сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы исключить одну из переменных. Исключить переменную значит получить равенство, где её больше нет. Это превращает задачу с двумя неизвестными в более простое уравнение с одной неизвестной.

Равносильные системы уравнений — системы, имеющие одни и те же решения. При решении можно умножать обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, а также складывать уравнения, не меняя множество решений. Это нужно, чтобы преобразования упрощали систему, но не изменяли её ответ.

Решение системы уравнений — пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Обычно пару записывают так: (x; y). Поэтому недостаточно найти только x или только y: нужно определить оба значения и проверить их вместе.

Как это устроено

При сложении уравнений складывают отдельно левые части и отдельно правые части. Если в них есть слагаемые 4y и −4y, их сумма равна нулю: 4y + (−4y) = 0. Поэтому переменная y исчезает, а остаётся уравнение только с x, которое решить проще.

Иногда коэффициенты уже противоположны, но часто их нужно подготовить. Для этого уравнение умножают на ненулевое число: равенство сохраняется, потому что обе его части изменяются одинаково. Умножать нужно каждый член, включая правую часть, иначе получится уже другое уравнение.

После сложения находят значение оставшейся переменной. Затем это число подставляют в любое удобное исходное уравнение, потому что исходная система содержит оба условия одновременно. Получается обычное линейное уравнение, из которого находится вторая переменная.

Проверка нужна потому, что ошибка может появиться даже при правильном выборе способа. Подставьте найденные x и y сначала в левую часть первого уравнения, затем второго. Если обе левые части равны соответствующим правым, пара действительно является решением.

Иногда после сложения исчезают обе переменные. Если остаётся неверное равенство, например 0 = 5, условия противоречат друг другу и решений нет. Если получается верное тождество 0 = 0, это лишь означает, что выбранное сложение не дало нового условия; нужно исследовать исходные уравнения дальше.

Шаги решения системы способом сложения

Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: сначала подготовьте коэффициенты, затем исключите переменную. После вычислений обязательно запишите пару значений и выполните проверку. Если на каком-то шаге появляются сомнения, вернитесь к соответствующей строке таблицы.

Разбор задач

Задача 1. Решите систему: 2x + y = 7, x − y = 2. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому подготовка не нужна. Сложим уравнения и затем найдём y подстановкой.

1. Складываем: (2x + y) + (x − y) = 7 + 2, откуда 3x = 9.
2. Находим x: x = 3.
3. Подставляем x = 3 в x − y = 2: 3 − y = 2, поэтому y = 1.

Ответ: (3; 1). Проверка даёт 2 · 3 + 1 = 7 и 3 − 1 = 2, значит пара подходит обоим уравнениям.

Задача 2. Решите систему: 3x + 2y = 8, 5x − 2y = 8. Коэффициенты при y противоположны, поэтому сложим уравнения именно для исключения y. Затем проверим найденные значения в обеих строках.

1. Складываем уравнения: 8x = 16, значит x = 2.
2. Подставляем x = 2 в первое уравнение: 6 + 2y = 8, откуда 2y = 2 и y = 1.
3. Проверяем: 3 · 2 + 2 · 1 = 8 и 5 · 2 − 2 · 1 = 8.

Ответ: (2; 1). Оба равенства верны, поэтому решение найдено правильно.

Задача 3. Решите систему: 2x + 3y = 7, 3x − 2y = 0. Коэффициенты при y не противоположны, поэтому сначала сделаем их равными по модулю. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3.

1. Получаем 4x + 6y = 14 и 9x − 6y = 0.
2. Складываем: 13x = 14, значит x = 14/13.
3. Подставляем во второе исходное уравнение: 3 · 14/13 − 2y = 0, поэтому y = 21/13.

Ответ: (14/13; 21/13). Проверка: 2 · 14/13 + 3 · 21/13 = 7, а 3 · 14/13 − 2 · 21/13 = 0.

Типичные ошибки

Ученик умножает уравнение на число, но забывает умножить правую часть. Так нарушается равенство, хотя внешне коэффициенты слева выглядят правильно. Проверяйте себя: множитель должен стоять у каждого слагаемого левой части и у правой части.

Иногда складывают уравнения с одинаковыми коэффициентами при переменной. Например, y + y даёт 2y, а не исчезновение переменной. Перед сложением убедитесь, что коэффициенты имеют противоположные знаки и одинаковые модули.

После нахождения одной переменной решение прекращают. Но одна координата ещё не задаёт пару, поэтому система не решена полностью. Подставьте найденное значение в исходное уравнение и обязательно вычислите вторую переменную.

Проверяют пару только в одном уравнении. Ошибка в преобразованиях второго уравнения при этом может остаться незамеченной. Подстановка в обе исходные строки — самый надёжный способ окончательной проверки.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь решать линейные уравнения и преобразовывать равенства. Особенно важно правильно умножать обе части уравнения на одно и то же ненулевое число. Эти навыки используются при подготовке коэффициентов.

Способ сложения связан со способом подстановки. Оба метода решают системы линейных уравнений, но подстановка выражает одну переменную через другую, а сложение уничтожает переменную при объединении уравнений.

Системы нужны в задачах с двумя неизвестными и двумя условиями. Например, по общей стоимости и количеству предметов можно найти цену каждого вида. Способ сложения помогает перевести такие условия в вычисляемую систему.

Что запомнить

• Цель способа сложения — исключить одну переменную.
• Для исключения переменной её коэффициенты должны быть противоположными.
• Чтобы изменить коэффициенты, умножают обе части уравнения на одно и то же ненулевое число.
• После сложения находят одну переменную, затем подстановкой — другую.
• Пару значений проверяют в обоих исходных уравнениях.
• Противоречие после сложения означает, что система не имеет решений; верное тождество требует дальнейшего анализа.