§ 36. Графический способ решения систем уравнений

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений, рассматриваемых одновременно. Нужно найти такие значения переменных, которые подходят каждому уравнению. Обычно уравнения системы записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой.

Решение системы — набор значений переменных, который обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Для системы с переменными x и y решение записывают парой (x; y). Такая пара должна удовлетворять всем уравнениям, а не только одному из них.

График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Например, графиком линейного уравнения y = kx + b является прямая. График позволяет увидеть сразу все пары чисел, подходящие уравнению.

Графический способ решения системы — нахождение её решений по общим точкам графиков уравнений системы. Такой способ связывает вычисления с рисунком и показывает, как уравнения расположены относительно друг друга. Общая точка графиков даёт значения обеих переменных.

Как это устроено

Сначала каждое уравнение системы нужно представить как условие для точек плоскости. Затем графики всех уравнений строят на одной координатной плоскости, чтобы можно было сравнить их положение. Если использовать разные плоскости, общие точки увидеть невозможно, поэтому один чертёж необходим.

Точка лежит на графике уравнения именно тогда, когда её координаты превращают это уравнение в верное равенство. Если точка принадлежит сразу двум графикам, её координаты подходят обоим уравнениям одновременно. Поэтому такая общая точка и задаёт решение системы.

Когда две прямые пересекаются в одной точке, другого общего набора координат у них нет. Значит, система имеет одно решение, которое записывают как координаты точки пересечения (x; y). Если прямые не пересекаются, ни одна точка не подходит обоим уравнениям, поэтому система решений не имеет.

Совпадающие графики состоят из одних и тех же точек. Каждая из этих точек подходит обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много. Графический способ нагляден, но координаты по рисунку иногда считываются приблизительно, поэтому найденную пару полезно проверить подстановкой в каждое уравнение.

Расположение графиков и число решений системы

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите, как расположены графики на общей координатной плоскости. Затем посчитайте их общие точки или установите, что графики совпадают. По найденному случаю сразу можно назвать число решений системы.

Разбор задач

Задача 1

Решите графически систему y = x + 1, y = −x + 3. Обе зависимости задают прямые, поэтому для каждой достаточно найти две точки.

1. Для первой прямой возьмём x = 0 и x = 1. Получим точки (0; 1) и (1; 2), через них проведём прямую y = x + 1.
2. Для второй прямой возьмём x = 0 и x = 1. Получим точки (0; 3) и (1; 2), через них проведём прямую y = −x + 3.
3. Прямые пересекаются в точке (1; 2). Значит, именно эти значения подходят двум уравнениям сразу.

Ответ: (1; 2).

Задача 2

Решите графически систему y = 2x − 1, y = −x + 5. Сначала построим две прямые, а затем проверим координаты их пересечения.

1. Для y = 2x − 1 удобно взять x = 0 и x = 1. Получаются точки (0; −1) и (1; 1).
2. Для y = −x + 5 возьмём x = 0 и x = 1. Получаются точки (0; 5) и (1; 4), по ним строим вторую прямую.
3. По чертежу точка пересечения имеет координаты (2; 3). Проверка даёт: 3 = 2 · 2 − 1 и 3 = −2 + 5.

Ответ: (2; 3).

Задача 3

Определите число решений системы y = 2x + 1, y = 2x − 3, не находя координаты точек. Здесь можно рассуждать по виду уравнений и не выполнять построение полностью.

1. У обеих прямых угловой коэффициент равен 2. Значит, они имеют одинаковый наклон и идут параллельно.
2. Свободные члены различны: 1 и −3. Поэтому прямые пересекают ось y в разных точках и не являются одной и той же прямой.
3. Различные параллельные прямые общих точек не имеют. Следовательно, система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

Иногда за решение принимают координаты точки, лежащей только на одном графике. Такая точка удовлетворяет лишь одному уравнению, поэтому для системы не подходит. Проверьте, принадлежит ли выбранная точка всем графикам.

Можно перепутать порядок координат пересечения и записать сначала y, а потом x. В координатной паре всегда сначала указывают абсциссу x, затем ординату y: (x; y). Для проверки подставьте числа именно в таком порядке.

Ещё одна ошибка — построить графики на разных координатных плоскостях. Тогда линии нельзя сравнить и их пересечение не видно. Все графики одной системы нужно наносить на один чертёж с одинаковым масштабом.

Координаты, прочитанные по рисунку, иногда принимают за точные без проверки. Небольшая погрешность возникает из-за масштаба или неточного построения прямых. Подставьте найденную пару в оба уравнения и убедитесь, что получаются верные равенства.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь строить графики линейных уравнений и отмечать точки по координатам. Навык выбора двух точек помогает быстро изобразить каждую прямую. Чем точнее построение, тем надёжнее чтение координат пересечения.

Также нужно уметь подставлять значения переменных в уравнение и проверять равенство. Эта проверка показывает, действительно ли найденная пара является решением системы. Она особенно нужна, если координаты взяты приблизительно с чертежа.

Графический способ помогает понять смысл решения системы и связь уравнений с геометрией. Позднее те же системы можно решать алгебраическими методами. Тогда вычисления дадут координаты без необходимости считывать их с рисунка.

Что запомнить

• Графики уравнений системы строят в одной координатной плоскости.
• Решение системы — координаты общей точки графиков.
• Одна точка пересечения означает одно решение.
• Отсутствие общих точек означает отсутствие решений.
• Совпадающие графики означают бесконечно много решений.
• Графический ответ может быть приближённым.
• Найденную пару можно проверить подстановкой в каждое уравнение.