"Алгебра", Алимов Ш.А.
Система уравнений помогает найти несколько неизвестных величин, если в условии задачи есть несколько связей между ними. Нужно обозначить неизвестные, перевести каждую подходящую связь в уравнение и решить полученную систему. Затем найденные значения проверяют по исходному условию: математически верное решение не всегда подходит по смыслу задачи. Такой способ применяют в задачах о числах, покупках, движении и других ситуациях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, пара чисел должна подходить сразу к каждому уравнению системы. Это понятие нужно, когда в задаче есть несколько условий, связывающих одни и те же величины.
Решение системы уравнений — набор значений неизвестных, который обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если подстановка чисел нарушает хотя бы одно уравнение, это не решение системы. Понятие помогает отличить подходящую пару значений от случайной догадки.
Математическая модель задачи — запись условия задачи с помощью переменных и уравнений. Слова заменяют буквами и равенствами, сохраняя связи между величинами. Модель нужна, чтобы перейти от текста к вычислениям и не потерять смысл условия.
Составление системы уравнений — выбор неизвестных и перевод связей из условия задачи в несколько уравнений. Сначала поясняют, что обозначают переменные, затем записывают равенство для каждого подходящего условия. Так становится понятно, откуда взялось каждое уравнение и что означают найденные числа.
В задаче с двумя неизвестными часто нужны два уравнения, потому что одна связь обычно не определяет оба значения. Например, сумма чисел может быть равна 18, и таких пар чисел несколько. Если известно ещё и то, что одно число на 4 больше другого, появляется дополнительная связь, которая позволяет выбрать нужную пару. Поэтому каждое уравнение должно передавать отдельную часть условия.
Неизвестными обычно выбирают те величины, которые требуется найти: например, числа или количество предметов в коробках. Переменные удобно назвать x и y, но обязательно подписать, что именно они обозначают. Если в задаче есть другие величины, их часто можно выразить через выбранные переменные. Например, если в одной коробке на 6 предметов больше, чем в другой, количество в первой можно записать как y + 6.
Чтобы перевести условие в систему, выделите в тексте все известные связи между величинами. Слова «всего» или «сумма» часто указывают на сложение, а выражение «на столько-то больше» — на разность или прибавление известного числа. Запишите для каждой связи отдельное равенство и проверьте, соответствует ли оно именно этой фразе. Так меньше риск перепутать порядок величин или пропустить условие.
После составления системы её решают знакомым способом: например, подстановкой или сложением уравнений. Полученные значения нужно связать с теми величинами, которые были обозначены переменными. Если x обозначал число тетрадей первого вида, то найденное x — это именно их количество, а не цена или общая стоимость. Такая расшифровка помогает правильно записать ответ.
Проверка по условию нужна потому, что решение системы проверяет равенства, но не всегда учитывает смысл задачи. Количество предметов должно быть целым и неотрицательным, а время и длина не могут быть отрицательными. Кроме того, можно ошибиться при переводе слов в уравнения, и тогда система будет решена верно, но описывать другую ситуацию. Поэтому подставьте значения в уравнения и отдельно сверяйте их с каждой фразой условия.
Таблица показывает распространённые связи между величинами и короткие записи для них. В ней x и y обозначают неизвестные, S, D, N и C — известные числа, а a и b — цены. Выберите строку, подходящую к условию, и уточните смысл каждой буквы перед составлением системы.
| Связь между величинами | Запись |
|---|---|
| Сумма двух величин равна известному числу | x + y = S |
| Разность двух величин равна известному числу | x − y = D |
| Общее количество предметов | x + y = N |
| Общая стоимость при известных ценах | ax + by = C |
| Общий путь при известных скоростях и времени | v₁t₁ + v₂t₂ = S |
Задача 1. Сумма двух чисел равна 18, а одно число на 4 больше другого. Найдите числа. Обозначим меньшее число через x, а большее — через y. Тогда сумма описывает первое равенство, а разница между большим и меньшим — второе.
Ответ: 7 и 11.
Задача 2. В двух коробках 24 карандаша. В первой на 6 карандашей больше, чем во второй. Найдите количество карандашей в каждой коробке. Пусть x — число карандашей в первой коробке, а y — во второй. Общее количество и разницу запишем отдельными равенствами.
Ответ: в первой коробке 15 карандашей, во второй — 9.
Задача 3. Купили 12 тетрадей двух видов: одни по 20 рублей, другие по 35 рублей. За покупку заплатили 330 рублей. Сколько тетрадей каждого вида купили? Обозначим через x количество тетрадей по 20 рублей, а через y — количество тетрадей по 35 рублей. Тогда первое условие описывает число тетрадей, а второе — потраченную сумму.
Ответ: купили 6 тетрадей по 20 рублей и 6 тетрадей по 35 рублей.
Переменные введены без пояснения. Тогда легко забыть, какая буква обозначает нужную величину, и перепутать смысл ответа. Так бывает, когда ученик сразу начинает вычисления, не разобрав условие. Подпишите каждую переменную словами и проверьте, что ответ можно связать с этой подписью.
Составлено только одно уравнение для двух неизвестных. Одно равенство обычно допускает несколько пар значений, поэтому задача остаётся неопределённой. Ошибка возникает, если замечено лишь первое условие или кажется, что его достаточно. Сверьте список фактов в тексте с уравнениями: каждой независимой связи должна соответствовать запись.
Перепутан порядок величин или неверно учтены цена, скорость либо количество. Например, разность «первое больше второго на 6» записана наоборот, или стоимость покупки найдена без умножения цены на количество. Это случается, когда уравнение составляют по отдельным словам, не проверяя весь смысл фразы. Прочитайте равенство вслух и сопоставьте каждую его часть с условием.
После решения системы ответ не проверен. Значения могут не подходить по смыслу: количество предметов оказалось дробным, отрицательным или не удовлетворяет исходным данным. Иногда вычисления верны, но ошибка была допущена при составлении модели. Подставьте ответ в оба уравнения, затем проверьте все условия и допустимые значения величин.
Для решения текстовых задач нужно уметь обозначать неизвестные переменными, составлять уравнения по условию и решать линейные системы. Те же действия пригодятся в задачах на движение, покупки, совместную работу и смеси: меняются величины, но сохраняется идея связать неизвестные уравнениями. Построение математической модели становится основой и для более сложных задач с несколькими неизвестными.
Как выбрать неизвестные в текстовой задаче?
Обычно переменными обозначают величины, которые требуется найти: например, количества предметов или неизвестные числа. Сразу запишите, что именно означает каждая переменная, и при необходимости выразите через неё другие величины.
Почему для двух неизвестных составляют два уравнения?
Каждое уравнение передаёт отдельную связь между неизвестными из условия. Одного уравнения обычно недостаточно, чтобы однозначно определить два значения.
Как понять, какое уравнение соответствует каждому условию?
Разберите условие на отдельные факты: например, известна сумма и известна разность. Для каждого факта запишите равенство с выбранными переменными, сверяя его смысл со словами задачи.
Что делать, если решение системы не подходит по смыслу задачи?
Проверьте, правильно ли составлены уравнения и не перепутаны ли величины. Если система решена верно, но значения нарушают ограничения задачи, например количество предметов оказалось дробным или отрицательным, такой ответ не подходит.
Как проверить, что ответ верен?
Подставьте найденные значения в оба уравнения и убедитесь, что равенства выполняются. Затем проверьте исходные условия и ограничения задачи, а в ответе укажите найденные величины и их единицы.
§ 37. Решение задач с помощью систем уравнений
