§ 38. Различные комбинации из трех элементов

Определения и обозначения

Различная комбинация из трёх элементов — способ расположить три заданных элемента в определённом порядке. Например, для букв A, B и C запись ABC задаёт один порядок, а BAC — другой. Это понятие нужно, чтобы описывать варианты, в которых важны и сами элементы, и их места. Оно помогает отличать перестановку от простого выбора нескольких предметов.

Перестановка трёх элементов — комбинация, в которой использованы все три элемента, причём изменённый порядок считается другой перестановкой. Например, ABC и ACB состоят из тех же букв, но отличаются расположением B и C. Значит, при подсчёте перестановок нельзя объединять варианты только потому, что набор букв совпадает. Это определение подсказывает, какие записи нужно считать разными.

Элементы комбинации — объекты, которые переставляют; в этой теме предполагается, что все три элемента различны. Например, A, B и C можно различить по названию, а две одинаковые буквы A — нельзя. Это важно для подсчёта: обмен двух разных элементов меняет запись, а обмен одинаковых оставляет её прежней. Поэтому сначала уточняют, различны ли заданные элементы.

Как это устроено

Чтобы составить перестановку трёх различных элементов, сначала выбирают, кто займёт первое место. На это место подходит любой из трёх элементов, поэтому есть три возможности. Каждый выбор задаёт отдельную группу вариантов: например, все записи, начинающиеся с A, образуют одну группу.

После выбора первого элемента его уже нельзя поставить ещё раз: в перестановке каждый заданный элемент используется один раз. Поэтому на второе место остаётся выбрать один из двух элементов. Последний из оставшихся элементов автоматически занимает третье место, и для него уже не нужно выбирать.

Когда для одного шага есть несколько вариантов, а за каждым из них следует выбор на следующем шаге, применяют правило умножения. Оно говорит: число полных вариантов равно произведению числа возможностей на каждом шаге. Здесь это 3 · 2 · 1 = 6, то есть из трёх различных элементов можно составить шесть перестановок.

Перечисление по первому элементу позволяет проверить этот подсчёт. Сначала выписывают варианты, начинающиеся с A, затем — с B, после этого — с C; внутри каждой группы меняют местами две оставшиеся буквы. Так видна структура списка: для каждой из трёх первых букв есть ровно две записи. Если в списке оказалось меньше или больше шести, стоит проверить, не потерян и не повторён ли какой-нибудь вариант.

Если среди элементов есть одинаковые, правило «каждый новый порядок — отдельная перестановка» требует поправки. Например, при обмене двух букв A в записи ААБ получается та же самая запись, потому что буквы неразличимы. Значит, часть способов выбора мест описывает не новые комбинации, а уже полученные раньше. Чтобы найти число различных записей, такие повторы не считают.

Все перестановки трёх различных элементов A, B и C

В таблице каждая строка показывает одну перестановку: прочитайте три первых столбца слева направо и получите запись в последнем столбце. Сначала сравнивайте строки с одинаковым первым элементом, а затем переходите к следующей группе. Так можно проверить, что для каждого начала указаны оба порядка оставшихся букв.

Разбор задач

Составьте все возможные порядки расположения букв А, Б и В.

В условии заданы три разные буквы, и каждая должна встретиться в записи ровно один раз. Значит, нужно найти все перестановки, а не только выбрать буквы. Чтобы не запутаться, сгруппируем записи по первой букве.

1. Если первой стоит А, оставшиеся Б и В можно расположить как БВ или ВБ: АБВ, АВБ.
2. Если первой стоит Б, получаем БАВ и БВА.
3. Если первой стоит В, получаем ВАБ и ВБА.

Ответ: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. В каждой группе по две записи, потому что после выбора первой буквы остаются две буквы, которые можно поставить в двух порядках. Всего получилось шесть вариантов.

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3, используя каждую цифру один раз?

Каждая цифра должна занять одно из трёх мест, а повторять её нельзя. На первое место можно поставить любую из трёх цифр. После этого для второго места остаются две цифры, а последняя свободная цифра становится третьей.

1. Для первой цифры есть 3 возможности.
2. Для второй цифры после выбора первой остаются 2 возможности.
3. Для третьей цифры остаётся 1 возможность; перемножаем количества: 3 · 2 · 1 = 6.

Ответ: 6 чисел. Такой подсчёт не требует выписывать числа по одному, но его можно проверить списком: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Все они трёхзначные и используют каждую из заданных цифр ровно один раз.

Сколько различных перестановок можно получить из букв А, А и Б?

Здесь два элемента совпадают, поэтому нельзя просто считать каждое изменение порядка новым вариантом. Начнём с записи, в которой рядом стоят две А, и затем будем менять положение Б. Проверим, что полученные записи различаются.

1. Если Б стоит в конце, получается ААБ.
2. Если Б стоит между буквами А, получается АБА.
3. Если Б стоит в начале, получается БАА.

Ответ: 3 перестановки: ААБ, АБА, БАА. Обмен двух букв А не создаёт четвёртую запись, потому что буквы одинаковы. Проверка проста: буква Б может стоять только на одном из трёх мест, а каждому месту соответствует ровно одна различная запись.

Типичные ошибки

• Учитывают только одну перестановку и забывают, что порядок элементов меняет комбинацию. Так бывает, если считать важным только состав набора, а не места элементов. Сравните, кто стоит первым: у ABC и BAC это разные буквы, значит, записи различны. Для проверки спросите себя, изменится ли запись при перестановке двух элементов.

• Пропускают варианты или считают один и тот же дважды, если перечисляют их без порядка. Ошибку легко допустить, перескакивая между записями, которые начинаются с разных букв. Разбейте варианты на группы по первому элементу: в каждой группе должно быть по две записи. Затем проверьте, что групп три и ни одна запись не повторяется.

• Считают, что для каждого места есть три независимые возможности. Это привело бы к повторному использованию уже поставленной буквы, хотя по условию каждый элемент нужен только один раз. После выбора первого элемента остаются лишь два варианта для второго, а затем один для третьего. Проверьте, что в каждой записи все три буквы встречаются ровно по одному разу.

• Считают перестановки одинаковых элементов различными, например различают ААБ и ААБ после обмена букв А. Такое кажется возможным, если мысленно обозначить одинаковые буквы как разные, хотя в условии такого различия нет. Запишите получившийся результат и сравните его с уже имеющимися. Если записи совпали, нового варианта не появилось.

Связь с другими темами

Для подсчёта перестановок нужно уметь применять правило умножения: число возможностей на последовательных шагах перемножают. Перечисление по случаям помогает проверить результат и не пропустить варианты. Позднее эти приёмы пригодятся в комбинаторных задачах, где нужно выбирать несколько элементов и задавать порядок их расположения. Поэтому важно различать выбор объектов и их перестановку.

Что запомнить

• В перестановке используются все три элемента.
• При перестановке различных элементов порядок важен.
• Для первого места есть 3 возможности, для второго — 2, для третьего — 1.
• Число перестановок трёх различных элементов равно 3 · 2 · 1 = 6.
• Одинаковые элементы не создают новых различных перестановок при обмене местами.