§ 38. Различные комбинации из трёх элементов

Определения и обозначения

Упорядоченная тройка — три элемента, записанные в определённом порядке. Например, ABC и BAC — разные тройки, потому что элементы стоят на разных местах. Это понятие нужно, когда порядок задаёт результат: например, в коде или при расположении карточек.

Перестановка трёх элементов — способ расположить все три элемента в определённом порядке. Если переставить хотя бы два элемента, получится другая перестановка. Термин помогает говорить о вариантах расположения, не перечисляя каждый раз все элементы условия.

Сочетание трёх элементов — выбор элементов, при котором порядок не учитывается. Например, выбор учеников А и В совпадает с выбором В и А. Это понятие нужно, чтобы не считать один и тот же набор несколько раз только из-за иной последовательности записи.

Повторение элемента — ситуация, когда один и тот же элемент можно использовать в комбинации несколько раз. Например, в коде из букв A, B и C может появиться AAС, если условие разрешает повторения. Проверять это условие необходимо до подсчёта, иначе можно получить неверное число вариантов.

Как это устроено

Перед подсчётом нужно выяснить, важен ли порядок. Причина в том, что одна и та же группа элементов может давать несколько результатов, если места различаются: в коде ABC не равен BAC. А при выборе участников для команды важен состав, а не очередность записи имён, поэтому эти варианты совпадают. Ответ на этот вопрос определяет, считать ли перестановки разными комбинациями.

Перечислять перестановки удобнее по правилу, а не наугад. Сначала поставь A на первое место и запиши оставшиеся варианты: ABC и ACB. Затем поставь первым B и получи BAC и BCA, а после этого первым поставь C и получи CAB и CBA. Так каждый элемент по очереди занимает первое место, и легче заметить, что варианты не пропущены.

Число перестановок можно найти и без полного списка. Для первого места подходят любые три элемента, поэтому есть три выбора. После этого остаются два элемента для второго места, а последний элемент уже займёт третье место. По правилу умножения получаем 3 · 2 · 1 = 6; каждый выбор первого и второго мест задаёт ровно одну перестановку.

Сочетание отличается тем, что порядок выбранных элементов не создаёт новый результат. Если выбирают двух учеников, то набор А и В тот же, что В и А: никто из учеников не получил особого места. Поэтому при подсчёте сочетаний нельзя просто перечислить все упорядоченные записи и объявить каждую новой. Сначала нужно объединить записи, в которых выбран один и тот же набор.

Повторение меняет число возможных вариантов, потому что после выбора элемента он может остаться доступным для следующего места. Если повторять нельзя, после каждого выбора вариантов становится меньше. Если повторение разрешено, для каждого места могут сохраняться все прежние варианты. Поэтому перед подсчётом выясняют, разрешено ли повторение, и только затем выбирают способ вычисления.

Как различать комбинации из трёх элементов

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала определи, важен ли порядок, затем выясни, сколько элементов нужно использовать и можно ли их повторять. После этого выбери подходящий способ перечисления или подсчёта. Если условие не сообщает о повторениях, не добавляй их самостоятельно.

Разбор задач

Сколькими способами можно расположить три различные карточки A, B и C в ряд?

В ряд нужно поставить все три карточки, а их места различаются, поэтому порядок важен. Значит, требуется посчитать перестановки без повторений. Можно перечислить варианты по первому элементу или последовательно подсчитать выбор для каждого места.

1. На первое место можно выбрать A, B или C: всего 3 варианта.
2. Для второго места остаются 2 карточки, а последняя карточка займёт третье место: получаем 3 · 2 · 1 = 6.
3. Для проверки перечислим варианты: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Каждая перестановка использует все карточки, и ни одна не повторяется. Ответ: 6 способов.

Из трёх учеников нужно выбрать двух для участия в конкурсе. Сколько существует разных выборов?

Обозначим учеников буквами A, B и C. Нужно выбрать двух, но в условии нет первого и второго места, поэтому порядок выбора не важен. Перечислим пары по тому, кто стоит в них первым в нашем списке: так один набор не будет записан дважды.

1. С учеником A можно выбрать B или C: пары AB и AC.
2. Если A уже не выбран, остаются ученики B и C: пара BC.
3. Записи BA, CA и CB не добавляем: они описывают те же пары в другом порядке.

Получились три разных набора: AB, AC и BC. Ответ: 3 выбора.

Сколько трёхбуквенных кодов можно составить из букв A, B и C, если буквы разрешено повторять?

Код состоит из трёх мест, и перестановка букв меняет код: ABC и BAC — разные результаты. Повторение разрешено, поэтому на каждом месте можно поставить любую из трёх букв, даже если она уже встречалась. Считаем выборы для мест по очереди.

1. Для первого места есть 3 варианта: A, B или C.
2. Для второго места также есть 3 варианта, потому что повторение разрешено.
3. Для третьего места снова есть 3 варианта; по правилу умножения получаем 3 · 3 · 3 = 27.

Например, среди кодов будут AAA, AAB и CCA, а порядок букв в каждом коде учитывается. Ответ: 27 кодов.

Типичные ошибки

Ошибка — считать ABC и BAC разными сочетаниями. Её допускают, перенося на выбор наборов правило, которое работает для кодов и расположений. Проверь себя: если поменять порядок имён, изменится ли состав выбранной группы? Если состав тот же, сочетание одно.

Ошибка — считать ABC и BAC одной перестановкой. Так рассуждают, когда замечают, что используются те же элементы, но забывают о разных местах. Проверь, можно ли поменять расположение карточек, не меняя результат задачи: для ряда или кода нельзя, поэтому перестановки разные.

Ошибка — не выяснить, разрешено ли повторение. Из-за этого в подсчёт могут попасть запрещённые варианты или, наоборот, исчезнуть допустимые коды. Найди в условии слова о повторении и проверь любой вариант с одинаковыми элементами: подходит ли он под правило задачи?

Ошибка — перечислять варианты без системы. Так легко пропустить комбинацию или записать её дважды под другим порядком. Закрепляй один элемент на месте и перебирай остальные, затем переходи к следующему; в конце сравни число записей с подсчётом по выбору мест.

Связь с другими темами

Для работы с комбинациями нужно уметь перечислять элементы множества и различать равные и различные элементы. Если два элемента одинаковы, запись с их перестановкой может не давать нового варианта. Это влияет на то, какие комбинации действительно нужно считать.

Подсчёт вариантов связан с правилом умножения: если последовательный выбор можно выполнить несколькими способами, числа вариантов перемножают. Такой подход используют в комбинаторике, которая изучает способы выбора и расположения элементов. Эти умения пригодятся и при изучении вероятностей, когда нужно определить число возможных исходов.

Что запомнить

• Перед подсчётом выясни, важен ли порядок.
• В перестановках порядок элементов важен.
• В сочетаниях порядок элементов не важен.
• Для трёх различных элементов существует шесть перестановок.
• Условия о повторении элементов меняют число вариантов.
• Перечисляй варианты по чёткому правилу, чтобы не пропустить и не повторить их.