§ 39. Таблица вариантов и правило произведения

Определения и обозначения

Таблица вариантов — способ перечислить все возможные результаты нескольких выборов, разместив варианты одного выбора в строках, а другого — в столбцах. В каждой клетке записывают сочетание вариантов, стоящих в соответствующих строке и столбце. Такая таблица нужна, чтобы увидеть все сочетания и не потерять ни одно из них.

Правило произведения — способ найти число всех возможных вариантов последовательных выборов: если первый выбор можно сделать m способами, а второй — n способами, то всего есть m · n вариантов. Например, при трёх вариантах первого выбора и двух вариантах второго получится 3 · 2 сочетания. Это правило позволяет считать, не выписывая каждое сочетание отдельно.

Число вариантов выбора — количество способов выполнить один отдельный выбор; его определяют по условию задачи. Если предлагают четыре фигуры, то для выбора фигуры есть 4 варианта. Это число нужно установить для каждого этапа, чтобы затем правильно составить таблицу или применить умножение.

Как это устроено

Сначала выдели, какие именно выборы нужно сделать: например, выбрать напиток и дополнение к нему. Возможные результаты первого выбора запиши по строкам, а второго — по столбцам. На пересечении строки и столбца укажи получившуюся пару. Такое расположение помогает систематически пройти все сочетания, а не выбирать их наугад.

Каждая клетка задаёт один результат, потому что у неё есть только одна строка и один столбец. Значит, клетке соответствует ровно один вариант первого выбора и ровно один вариант второго. Две разные клетки отличаются хотя бы строкой или столбцом, поэтому показывают разные сочетания. Так таблица не только перечисляет результаты, но и помогает проверить, что одинаковые варианты не посчитаны повторно.

Чтобы найти общее число результатов по таблице, можно посчитать заполненные клетки. Если в каждой строке одинаковое число клеток, подсчёт удобно заменить умножением числа строк на число клеток в каждой строке. Это быстрее, особенно если таблица большая. Если же в строках разное количество доступных сочетаний, нужно учитывать заполнение каждой строки отдельно.

Правило произведения объясняется группами результатов. Для каждого из m вариантов первого выбора доступны все n вариантов второго, поэтому результаты можно разделить на m групп. В каждой группе находится n сочетаний, а значит, общее количество равно m · n. Умножают именно потому, что выполняются оба выбора, а не выбирается только один из них.

Если выборов несколько, рассуждение продолжается шаг за шагом. Число вариантов равно произведению количества возможностей на каждом этапе, когда после любого предыдущего выбора доступны все варианты следующего этапа. Например, для трёх этапов с 2, 4 и 3 возможностями будет 2 · 4 · 3 результатов. Если возможности меняются, сначала выясни, как именно они зависят от уже сделанных выборов.

Способы подсчёта вариантов двух последовательных выборов

Сначала определи число вариантов каждого выбора, затем выбери удобный способ подсчёта. Таблица особенно полезна, когда нужно увидеть сами сочетания, а правило произведения — когда требуется только их количество. Оба способа дают один и тот же результат, если каждый вариант первого выбора сочетается со всеми вариантами второго.

Разбор задач

Сок и булочка

В школьной столовой предлагают 3 вида сока и 2 вида булочек. Нужно выбрать одну пару «сок и булочка». Поскольку покупатель берёт и сок, и булочку, здесь выполняются два последовательных выбора.

1. Первый выбор — сок; для него есть 3 варианта.
2. Второй выбор — булочка; для каждого сока доступны обе булочки, то есть 2 варианта.
3. Перемножаем числа: 3 · 2 = 6. При желании можно составить таблицу с тремя строками и двумя столбцами: в ней будет 6 клеток.

Ответ: можно выбрать 6 разных пар «сок и булочка». Каждая пара включает ровно один сок и одну булочку. Таблица позволяет перечислить эти пары, а умножение сразу даёт их количество.

Эмблема

Для эмблемы выбирают одну из 4 фигур и один из 3 цветов. Требуется найти число разных эмблем. Здесь важно проверить условие: любой из трёх цветов можно использовать с каждой фигурой.

1. Для первого выбора — фигуры — есть 4 варианта.
2. Для второго выбора — цвета — есть 3 варианта при любой выбранной фигуре.
3. По правилу произведения получаем 4 · 3 = 12 сочетаний.

Ответ: можно составить 12 разных эмблем. Если бы некоторые цвета нельзя было применять к отдельным фигурам, простое умножение могло бы не подойти. Поэтому сначала проверяют, доступны ли все цвета для каждой фигуры.

Номер из букв и цифры

Номер состоит из двух букв, выбранных из 3 букв, и одной цифры, выбранной из 5 цифр. Повторы разрешены, поэтому одна и та же буква может стоять на обоих местах. Нужно посчитать все номера, учитывая порядок символов.

1. На первое место можно поставить одну из 3 букв.
2. На второе место снова доступны все 3 буквы, потому что повторы разрешены.
3. Для цифры есть 5 вариантов. Перемножаем: 3 · 3 · 5 = 45.

Ответ: можно составить 45 номеров. Здесь три этапа выбора, поэтому перемножены три числа возможностей. Если бы повторять буквы запрещалось, второй этап имел бы только 2 варианта, и результат был бы другим.

Типичные ошибки

Складывают числа вариантов вместо умножения. Так делают, если видят два числа и применяют знакомое действие, не разбирая смысл задачи. Но когда нужно выполнить оба выбора, сочетания образуют группы, и подходит умножение. Проверь себя: в результате должны учитываться и первый, и второй выбранный предмет.

Пропускают один из этапов выбора. Тогда в подсчёте остаются, например, только фигуры или только цвета, а не готовые эмблемы. Ошибка возникает, если не выделить все части результата по условию. Перед вычислением перечисли, что должно войти в один полный вариант.

Умножают, не проверив доступность вариантов. Если число вариантов второго выбора зависит от первого, группы могут быть разного размера, и обычное произведение не даст верного ответа. Причина ошибки — предположение, что любой выбор сочетается с любым следующим. Проверь условие для каждого шага; при необходимости посчитай варианты отдельно для разных случаев.

Не учитывают запрет на повторение. При выборе без возвращения уже использованный предмет может стать недоступным, поэтому число вариантов на следующем шаге уменьшается. Иногда повторение считают разрешённым, хотя условие запрещает его, или наоборот. Отметь, можно ли использовать предмет повторно, и заново определи возможности на каждом этапе.

Связь с другими темами

Для работы с таблицей и правилом произведения нужно уметь умножать натуральные числа и находить в условии отдельные этапы выбора. Навык внимательно читать ограничения помогает не перепутать разрешённые и запрещённые сочетания. Эти способы пригодятся в задачах на перебор и подсчёт комбинаций: сначала можно перечислить варианты, а затем перейти к короткому вычислению. Подсчёт комбинаций также используют при изучении вероятности случайных событий, когда нужно определить число возможных результатов.

Что запомнить

• Таблица вариантов помогает перечислить все сочетания выборов.
• Каждая клетка таблицы соответствует отдельному результату.
• Для двух независимых последовательных выборов числа вариантов перемножают.
• Для нескольких этапов перемножают число возможностей на каждом этапе.
• Перед подсчётом проверь, зависит ли следующий выбор от предыдущего.
• Если повторения запрещены, число вариантов на следующих шагах может измениться.