§ 39. Таблица вариантов и правило произведения

Определения и обозначения

Вариант — один из возможных способов выполнить действие или сделать выбор. Если выбирают юбку и блузку, конкретная пара из одной юбки и одной блузки — отдельный вариант. Два варианта считаются разными, если хотя бы один из выбранных предметов отличается. Понятие варианта нужно, чтобы точно понимать, что именно мы считаем.

Таблица вариантов — способ перечислить возможные сочетания выборов в строках и столбцах. Например, строки могут обозначать предметы из первой группы, а столбцы — из второй; клетка на их пересечении показывает пару выбранных предметов. Так легче заметить пропуск или повторный подсчёт. Таблица полезна, когда вариантов немного и хочется увидеть их все.

Правило произведения — правило подсчёта, по которому число вариантов последовательного выбора равно произведению числа способов на каждом шаге. Если на первом шаге есть 2 способа, а на втором — 3, то всего получается 2 · 3 = 6 сочетаний, когда каждый первый выбор можно соединить с каждым вторым. Это правило помогает считать варианты, не выписывая их по одному.

Как это устроено

Задачу с несколькими выборами удобно разделить на шаги. Например, при составлении комплекта сначала выбирают юбку, затем блузку: это два отдельных действия. Для каждого шага нужно определить число возможных способов, потому что именно эти числа понадобятся для подсчёта. Если какой-то шаг не учесть, часть условий задачи потеряется, а ответ окажется неполным.

В таблице выборы разных шагов размещают в строках и столбцах. Сначала подписывают, что означает каждая строка и каждая колонка, а затем в клетках записывают их сочетания. Клетка на пересечении строки и столбца соответствует одному варианту, потому что в ней объединены ровно один выбор первого шага и один выбор второго. Такое устройство таблицы делает перебор упорядоченным.

Рассмотрим два предмета в первой группе и три — во второй. Для каждого предмета первой группы в таблице будет по одной клетке с каждым из трёх предметов второй группы, поэтому в каждой такой строке окажется три сочетания. Две строки дадут всего 2 · 3 = 6 клеток, и каждая клетка обозначает отдельный вариант. Значит, таблица показывает и полноту перебора, и причину умножения числа строк на число столбцов.

Правило произведения следует из того, что к каждому результату предыдущего шага можно присоединить каждый результат следующего. Если есть m способов сделать первый выбор и n способов сделать второй, то на каждый из m результатов приходится n продолжений, всего m · n. Для трёх шагов число вариантов равно произведению числа способов на каждом шаге: например, m · n · k. Так считают и дальше, если каждый выбор можно продолжать всеми предусмотренными способами.

Применять правило произведения без проверки условий нельзя. Оно работает напрямую, когда после каждого результата предыдущего шага доступны все способы следующего шага, указанные в задаче. Если выбор по условию ограничивает дальнейшие возможности, число продолжений может различаться. Тогда нужно считать варианты с учётом этих ограничений, а не умножать числа так, будто все сочетания разрешены.

Подсчёт вариантов последовательного выбора

Сначала определи, какие выборы выполняются и сколько способов есть на каждом шаге. Для двух шагов можно составить таблицу: строки и столбцы задают выборы, а клетки показывают их сочетания. Число клеток можно посчитать как произведение числа строк на число столбцов.

Разбор задач

Комплект одежды

У Маши есть 2 юбки и 3 блузки. Нужно найти число комплектов, в каждом из которых выбраны одна юбка и одна блузка. Выбор юбки — первый шаг, а выбор блузки — второй; каждый предмет из одной группы можно сочетать с любым предметом из другой. Поэтому применим правило произведения.

1. Обозначим юбки как Ю1 и Ю2, а блузки — как Б1, Б2 и Б3. Каждая юбка образует комплект с каждой блузкой. Это условие позволяет не исключать ни одну пару.
2. Для Ю1 получаются пары Ю1–Б1, Ю1–Б2 и Ю1–Б3. Для Ю2 получаются пары Ю2–Б1, Ю2–Б2 и Ю2–Б3. Всего есть 2 · 3 = 6 сочетаний.

Ответ: 6 разных комплектов. Таблица с двумя строками и тремя столбцами дала бы те же шесть клеток.

Обед в кафе

В кафе предлагают 3 первых блюда и 4 напитка. Обед составляют из одного блюда и одного напитка, значит, нужно выполнить два выбора. По условию любой напиток можно взять с любым первым блюдом, поэтому все сочетания допустимы.

1. На первом шаге есть 3 способа выбрать блюдо. На втором шаге есть 4 способа выбрать напиток. Фиксируем один из этих выборов и соединяем его со всеми вариантами другого.
2. Для каждого из 3 блюд подходят 4 напитка, поэтому получается 3 · 4 = 12 сочетаний. Такой подсчёт не требует выписывать все обеды отдельно.

Ответ: 12 обедов. Проверка по смыслу: к каждому блюду прибавляются не новые обеды, а четыре возможных сочетания с напитками.

Маршрут поездки

Для поездки выбирают один из 3 маршрутов до станции, один из 2 поездов от станции и один из 4 способов добраться от конечной станции до места. Каждый выбор доступен при любом предыдущем, поэтому ограничения не меняют количество продолжений. Здесь три последовательных шага, а не два.

1. На первом шаге есть 3 маршрута до станции. На втором — 2 поезда, и каждый из них подходит после любого первого маршрута. Эти два шага дают 3 · 2 сочетания.
2. Для каждого уже выбранного сочетания есть 4 способа добраться до места. Умножаем результат на число способов последнего шага: 3 · 2 · 4 = 24.

Ответ: 24 маршрута поездки. Если бы некоторые поезда были недоступны после отдельных маршрутов, пришлось бы учитывать это ограничение отдельно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать числа способов вместо умножения. Так делают, потому что замечают два числа, но не проверяют, требуется ли выбрать одно из действий или выполнить оба подряд. Для комплекта из юбки и блузки нужны оба предмета, поэтому считают 2 · 3, а не 2 + 3. Проверь себя вопросом: выбираю один вариант из групп или составляю сочетание из нескольких выборов?

Вторая ошибка — забыть один из шагов выбора. Например, посчитать только число блюд и не учесть напитки; тогда ответ будет слишком маленьким. Такая ошибка появляется, когда задачу не разбивают на последовательные действия. Перед вычислением перечисли все шаги и сопоставь каждому число способов.

Третья ошибка — пропустить или повторно посчитать сочетание при заполнении таблицы. Это случается, если не определить заранее, что означают строки и столбцы, или перескакивать между клетками. Подпиши группы, заполняй таблицу последовательно и проверь, что в ней ровно столько клеток, сколько строк, умноженных на число столбцов. Каждая клетка должна соответствовать одному варианту.

Четвёртая ошибка — применять правило произведения, не проверив ограничения. Ученик может умножить постоянные числа способов, хотя после одного выбора некоторые продолжения запрещены. Чтобы проверить себя, спроси, доступны ли все способы следующего шага после каждого результата предыдущего. Если нет, нужно отдельно учесть число продолжений для разных случаев.

Связь с другими темами

Для подсчёта по правилу произведения нужно уметь умножать натуральные числа и внимательно читать условие: от него зависит, какие выборы разрешены. Таблица вариантов помогает организовать перебор и проверить результат, когда сочетаний немного. Эти способы пригодятся в комбинаторных задачах, где считают разные сочетания объектов, и при подсчёте возможных исходов. Позже подсчёт исходов будет связан с изучением вероятности событий.

Что запомнить

• Вариант — один конкретный результат выбора.
• Таблица помогает перечислить сочетания выборов.
• Каждая клетка таблицы соответствует одному варианту.
• Для нескольких последовательных выборов число вариантов находят умножением.
• Для двух шагов общее число вариантов равно произведению числа способов на каждом шаге.
• Перед применением правила проверь, что ограничения задачи учтены.