"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Система уравнений помогает найти несколько неизвестных, если между ними одновременно заданы разные связи. Например, можно узнать два числа по их сумме и разности или скорости велосипедистов по времени встречи и расстоянию. Для решения задачи нужно обозначить неизвестные, перевести условия в уравнения, решить систему и проверить результат. Проверка показывает, подходят ли найденные значения исходной ситуации и отвечают ли они на вопрос.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, условие о сумме чисел и условие об их разности записывают двумя уравнениями. Система нужна, когда одного условия недостаточно, чтобы определить все неизвестные.
Решение системы — набор значений неизвестных, при котором верны все уравнения системы. Если числа подходят только к одному уравнению, но не подходят ко второму, это не решение системы. Поэтому найденные значения проверяют в каждом уравнении.
Составить систему по условию задачи — выбрать неизвестные и записать уравнения, выражающие связи между ними. Например, словами «сумма равна 26» задают одно уравнение, а словами «разность равна 8» — другое. Такая запись помогает перейти от текста к вычислениям.
Математическая модель задачи — запись условия с помощью неизвестных и уравнений. Она сохраняет важные связи между величинами, но делает их удобными для решения. По модели находят значения, а затем проверяют, подходят ли они к исходной ситуации.
Решение задачи начинают с выбора неизвестных: каждой буквой обозначают величину, которую нужно найти или которая поможет ответить на вопрос. Это нужно сделать первым, потому что без ясного смысла букв легко перепутать величины в уравнениях. Например, можно обозначить через x длину одной стороны, а через y — другой. Запись «пусть x — первая сторона» помогает понять дальнейшие вычисления.
Затем в условии ищут связи между выбранными величинами и переводят их в уравнения. Слова «вместе», «на столько-то больше», «всего» часто указывают на сумму, разность или общее количество. В задачах на движение связь задают расстояние, скорость и время: расстояние равно скорости, умноженной на время. Каждое уравнение должно точно передавать конкретную фразу условия, а не просто содержать знакомые числа.
Если неизвестных две и условие задаёт для них две связи, эти связи записывают как систему из двух уравнений. Это необходимо, потому что искомые величины должны подходить к обеим частям описания задачи сразу. Одно уравнение может допускать много пар значений, а дополнительное условие помогает выбрать подходящую пару. Например, для двух чисел могут быть известны и сумма, и разность.
Полученную систему решают способом, который уже изучали: например, подстановкой или сложением уравнений. При решении сохраняй смысл букв и не меняй местами величины без объяснения. Когда значения найдены, подставь их по очереди в оба исходных уравнения. Так можно заметить ошибку в вычислениях или преобразовании ещё до записи ответа.
В конце нужно вернуться от чисел к вопросу задачи. Проверь, что значения имеют подходящий смысл: длина не может быть отрицательной, а скорость в ответе измеряется, например, в километрах в час. Если спрашивали две стороны, укажи обе стороны, а не только x и y без пояснения. Ответ должен соответствовать и уравнениям, и исходному условию.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор неизвестных | Обозначить искомые величины буквами и пояснить обозначения. | Выбрать величины так, чтобы было удобно записывать условия. |
| Составление уравнений | Перевести каждую нужную связь из текста в уравнение. | Не перепутать величины и порядок в разности. |
| Запись системы | Объединить уравнения фигурной скобкой. | В систему должны попасть все необходимые условия. |
| Решение системы | Найти значения неизвестных известным способом. | Аккуратно выполнять преобразования и вычисления. |
| Проверка и ответ | Проверить значения и записать ответ на вопрос задачи. | Учесть смысл величин и единицы измерения. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда предыдущий выполнен и понятен. Если проверка не проходит, вернись к уравнениям и сопоставь их с фразами условия. Так проще найти, где именно появилась ошибка.
Сумма двух чисел равна 26, а их разность равна 8. Нужно найти оба числа. Обозначим большее число через x, а меньшее через y, поэтому разность запишем как x − y. Получаем два условия для одной и той же пары чисел.
Ответ: 17 и 9.
Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна сторона на 5 см длиннее другой. Требуется найти стороны. Обозначим меньшую сторону через x см, большую — через y см. Такое обозначение сразу показывает, какую разность нужно записать.
Ответ: 6 см и 11 см.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 42 км, и встретились через 2 часа. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Нужно найти обе скорости. Обозначим меньшую скорость через x км/ч, большую — через y км/ч.
Ответ: 9 км/ч и 12 км/ч.
Не пояснить, что обозначают неизвестные, — значит оставить буквы без связи с условием. Так бывает, когда хочется сразу записать уравнения, не разобрав текст; затем легко перепутать величины в ответе. Проверь себя: рядом с каждой буквой должно быть указано, какую именно величину она обозначает и в каких единицах измеряется.
Если записать только одно из необходимых условий, система не будет полностью описывать задачу. Ошибку допускают, когда замечают, например, сумму, но пропускают данную в условии разность; тогда часто нельзя определить обе неизвестные. Сверь каждую важную фразу задачи с отдельным уравнением и убедись, что ни одна нужная связь не потеряна.
Неверно переведённая разность даёт неправильную модель: например, «x на 5 больше y» означает x − y = 5, а не y − x = 5. Порядок величин путают, если не уточнить, какая из них больше. Чтобы проверить запись, прочитай уравнение словами и сравни с исходной фразой.
Считать найденные значения окончательным ответом без проверки рискованно. Решение системы может быть записано с вычислительной ошибкой или не подходить смыслу задачи; например, длина стороны не может быть отрицательной. Подставь значения в каждое исходное уравнение, проверь единицы и только после этого ответь на поставленный вопрос.
Чтобы составлять системы по тексту, нужно уметь обозначать неизвестные, записывать линейные уравнения по условию и решать системы линейных уравнений. Эти навыки соединяются в одном способе: сначала строится математическая модель, затем находится её решение. Если уравнения составлены верно, ответ можно проверить и математически, и по смыслу.
Приём пригодится в задачах на движение, покупки, геометрические величины и других ситуациях, где между неизвестными заданы две связи. Например, в задаче на движение связывают скорость, время и расстояние, а в геометрической — стороны и периметр. Умение выделять эти связи помогает решать задачи, даже если их сюжет незнаком.
Как понять, какие величины обозначить неизвестными?
Выбери величины, которые требуется найти, или те, через которые удобно выразить ответ. Каждой неизвестной дай отдельную букву и сразу поясни, что она означает. Проверь, что выбранных величин достаточно для составления уравнений.
Как из условия задачи составить два уравнения?
Найди в условии две независимые связи между неизвестными: например, их сумму и разность. Каждую связь запиши отдельным уравнением, сверяя запись со словами задачи. Вместе эти уравнения должны описывать все нужные условия.
Почему для решения текстовой задачи нужна именно система уравнений?
Потому что искомые значения должны одновременно удовлетворять нескольким условиям задачи. Одно уравнение обычно задаёт только одну связь и не позволяет определить обе неизвестные. Система объединяет нужные уравнения.
Можно ли выбрать неизвестные не так, как в образце?
Да, неизвестные можно обозначить иначе, если пояснить выбор и правильно выразить через них условия. Тогда уравнения могут выглядеть по-другому, но описывать ту же ситуацию. Ответ после проверки должен совпасть по смыслу.
Что проверять после того, как система решена?
Подставь найденные значения в оба уравнения и убедись, что равенства верны. Затем проверь, подходят ли значения условию: например, не получилась ли отрицательная длина или неподходящая единица измерения. В ответе укажи то, что спрашивается в задаче.
§ 37. Решение задач с помощью систем уравнений
