"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Система уравнений помогает найти несколько неизвестных величин, если они связаны сразу несколькими условиями. Чтобы решить текстовую задачу, нужно обозначить неизвестные, перевести каждую связь между величинами в уравнение, решить систему и проверить найденные значения по исходному тексту. Такой способ подходит, например, для задач о числах, покупках и движении. Главный ориентир — каждая найденная величина должна соответствовать своему обозначению и всем условиям задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые нужно рассматривать одновременно. Например, два равенства с x и y могут описывать разные условия одной задачи. Система нужна, когда требуется найти значения неизвестных, согласующиеся сразу со всеми условиями.
Решение системы уравнений — такой набор значений неизвестных, который обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если пара чисел подходит только к одному равенству, она ещё не является решением всей системы. Это определение помогает понять, почему нельзя проверять найденные значения лишь по части условия.
Математическая модель задачи — запись условия задачи с помощью неизвестных и уравнений. Слова заменяют буквами и равенствами, сохраняя связи между величинами. Модель нужна, чтобы вместо длинного текста можно было использовать известные способы решения уравнений.
Решить задачу с помощью системы уравнений — выбрать неизвестные, составить систему по условию, найти её решение и проверить ответ. Буквы обычно обозначают искомые величины, а каждое равенство передаёт одно условие. Такой порядок помогает не потерять смысл задачи среди вычислений.
Неизвестными выбирают величины, которые нужно найти, потому что именно их значения связывают условия задачи. Если требуется узнать две цены, удобно обозначить их, например, x и y. Уравнения затем показывают, как эти цены участвуют в стоимости покупок. Если выбрать величины, которые не нужны для ответа, запись может стать длиннее и запутаннее.
Чтобы перевести словесное условие в уравнения, сначала найди, какие отношения связывают величины: сумма, разность, общая стоимость или пройденный путь. Каждую отдельную связь запиши равенством, используя введённые обозначения. Например, фраза «x на 5 больше y» означает x − y = 5, потому что разность большего и меньшего равна пяти. Перед записью полезно проговорить равенство обычными словами.
Найденные значения должны одновременно удовлетворять всем уравнениям, потому что задача требует выполнения всех своих условий. Пара, которая подходит только к одному равенству, описывает лишь часть ситуации. Решение системы учитывает связи вместе, поэтому оно оставляет только те значения, которые согласуются со всем условием. Так проверка каждого уравнения становится проверкой отдельной части задачи.
После решения системы нужно соотнести числа с выбранными неизвестными: вспомнить, что именно обозначали x и y. Затем проверь, допустимы ли такие значения в ситуации. Например, найденная отрицательная цена не подходит к обычной задаче о покупке, даже если вычисления формально верны. Если значение противоречит смыслу, следует перепроверить модель и решение.
Проверка по исходному условию нужна, потому что ошибка могла появиться не только при вычислениях, но и при переводе текста в уравнения. Подставь найденные значения в каждое условие и сравни результат с тем, что сказано в задаче. Это помогает заметить перепутанные величины или неверный знак. После проверки сформулируй ответ словами, чтобы было ясно, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор неизвестных | Обозначить искомые величины буквами и пояснить обозначения. | Понятно ли, что означает каждая буква и в каких единицах измеряется величина. |
| Составление уравнений по условию | Записать отдельным равенством каждую связь между величинами. | Передаёт ли каждое уравнение именно то условие, из которого оно составлено. |
| Решение системы | Найти значения неизвестных одним из изученных способов. | Выполнены ли преобразования и вычисления без ошибок. |
| Проверка найденных значений | Подставить значения в уравнения и оценить их по смыслу задачи. | Верны ли все условия и допустимы ли величины. |
| Запись ответа | Ответить на вопрос задачи словами. | Указаны ли нужные величины и единицы измерения. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда выполнил предыдущий. Особенно внимательно проверь соответствие уравнений словам задачи. В конце ответ должен называть найденные величины, а не только пару чисел.
Сумма двух чисел равна 19, а одно из них на 5 больше другого. Нужно найти оба числа. Обозначим через x большее число, а через y — меньшее. Тогда сумма и разность дают два условия для системы.
Ответ: числа 12 и 7. Мы выбрали x большим числом, поэтому найденные значения согласуются и с обозначениями, и с условием.
За 3 тетради и 2 ручки заплатили 210 рублей, а за 2 тетради и 3 ручки — 190 рублей. Требуется найти цену каждой вещи. Обозначим цену тетради через x рублей, а цену ручки через y рублей. Стоимость каждой покупки получим, умножив количество вещей на цену и сложив результаты.
Ответ: тетрадь стоит 50 рублей, ручка — 30 рублей. Проверка показывает, что обе цены подходят к обеим покупкам.
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 18 км, и встретились через 2 часа. Скорость одного на 1 км/ч больше скорости другого. Обозначим скорости в км/ч через x и y, причём x — большая скорость. За 2 часа пешеходы вместе прошли 18 км, а их скорости отличаются на 1 км/ч.
Ответ: скорости пешеходов равны 5 км/ч и 4 км/ч. Большая скорость соответствует обозначению x.
Не пояснять, что обозначают неизвестные, — значит оставить себе возможность перепутать величины при составлении уравнений или записи ответа. Так часто делают, когда торопятся перейти к вычислениям. Подпиши x и y словами и укажи единицы измерения, если они нужны. В конце сверь ответ с этими обозначениями.
Составить только одно уравнение при двух неизвестных и двух независимых условиях недостаточно: обычно оно не определяет единственную пару значений. Ошибка возникает, если записать первое заметное условие и забыть второе. Проверь, отражены ли в модели все самостоятельные связи из текста. В задачах такого типа каждому из двух условий соответствует своё равенство.
Неверно передать слова «на больше», «в несколько раз» или «всего» — значит изменить смысл условия. Например, «на 3 больше» задаёт разность 3, а не отношение величин. Такая путаница появляется, если записывать выражение, не проговорив его значение. Проверяй каждое равенство чтением вслух и подстановкой простых чисел, если это помогает увидеть смысл.
Считать найденную пару решением задачи без проверки рискованно: числа могут не удовлетворять одному из условий или не подходить по смыслу. Это часто происходит, когда вычисления выглядят правдоподобно и на этом останавливаются. Подставь значения в оба уравнения и вернись к исходному тексту. Убедись, что ответ отвечает на вопрос и не содержит недопустимых величин.
Для решения задач этим способом нужно уметь обозначать неизвестные, составлять линейные уравнения по тексту и решать системы линейных уравнений. Если эти навыки знакомы, задача распадается на понятные шаги: перевод условия, вычисление и проверка. При затруднении можно отдельно потренироваться в каждом из этих действий.
Составление математической модели пригодится не только в задачах этого типа. В алгебре тем же способом описывают текстовые условия, когда величины связаны несколькими зависимостями. Позже идеи моделирования помогут работать с системами уравнений, в которых связи между величинами устроены сложнее.
Как понять, какие величины выбрать за неизвестные?
Выбирай те величины, которые требуется найти и которые связаны условиями задачи. Обычно удобно обозначить их x и y, а рядом словами пояснить, что означает каждая буква. Если одна величина легко выражается через другую, иногда достаточно одной неизвестной.
Почему для задачи составляют именно два уравнения?
Если в задаче две неизвестные величины и есть две независимые связи между ними, каждую связь записывают отдельным уравнением. Вместе эти равенства образуют систему и позволяют определить обе величины. Число уравнений не всегда равно двум: оно зависит от выбранных неизвестных и условий.
Как перевести слова «на 3 больше» в уравнение?
Если первая величина на 3 больше второй, то первую можно записать как x = y + 3. Например, если одно число на 3 больше другого, а меньшее обозначено y, большее будет y + 3. Проверь смысл: разность большего и меньшего должна быть равна 3.
Что делать, если решение системы не подходит по смыслу задачи?
Сначала проверь вычисления и то, как составлены уравнения. Затем проверь допустимость значений: например, цена или расстояние не могут быть отрицательными. Если подходящих значений нет, возможно, условие было переведено в уравнения неверно.
Обязательно ли проверять найденный ответ по условию?
Да, проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или составлении уравнений. Подставь найденные значения в условия задачи и убедись, что все равенства выполняются. После этого запиши ответ словами, указав нужные величины и единицы измерения.
48. Решение задач с помощью систем уравнений
