"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Система линейных уравнений с тремя переменными объединяет несколько уравнений с неизвестными x, y и z. Её решение — тройка чисел, которая подходит сразу ко всем уравнениям. Чтобы найти эту тройку, уравнения преобразуют так, чтобы исключать переменные и сводить задачу сначала к системе с двумя неизвестными. Затем находят оставшуюся переменную и проверяют ответ. Система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений с тремя переменными — несколько линейных уравнений, рассматриваемых одновременно. Обычно неизвестные обозначают буквами x, y и z, а каждое уравнение содержит их в первой степени. Система показывает, какие условия должны выполняться сразу, поэтому её используют, когда в задаче нужно найти три связанных неизвестных.
Решение системы — упорядоченная тройка чисел, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Запись (a; b; c) означает, что вместо x нужно поставить a, вместо y — b, а вместо z — c. Такой порядок важен: перестановка чисел может дать уже неподходящую тройку.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Их удобно получать в ходе преобразований: более простая система может решаться легче, но её ответы должны совпадать с ответами исходной. Если преобразование меняет множество решений, использовать его для решения нельзя.
Метод сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну из переменных. Для этого коэффициенты при выбранной переменной сначала делают противоположными или одинаковыми. После сложения или вычитания эта переменная исчезает, и число неизвестных уменьшается.
Систему записывают как несколько уравнений, объединённых фигурной скобкой или расположенных одно под другим. В каждом уравнении x, y и z — неизвестные, а числа перед ними называются коэффициентами. Например, в уравнении 2x − y + 3z = 7 коэффициенты переменных равны 2, −1 и 3. Одна и та же тройка значений должна подходить ко всем строкам системы, потому что они описывают условия одной задачи.
Если числа удовлетворяют только одному уравнению, этого недостаточно: оставшиеся условия могут оказаться нарушены. Поэтому решение проверяют подстановкой одной и той же тройки во все уравнения. При подстановке каждое равенство должно превратиться в верное числовое равенство, например 6 = 6. Это и отличает решение системы от решения отдельного уравнения.
Чтобы преобразования не изменяли множество решений, можно складывать уравнения системы, умножать отдельное уравнение на ненулевое число или заменять его равносильным. При умножении меняют обе части уравнения целиком, а не один его член. Эти действия нужны, чтобы сделать коэффициенты удобными и убрать неизвестные, не потеряв правильные ответы.
Метод сложения начинают с выбора переменной, которую удобно исключить. Если коэффициенты при ней уже противоположны, уравнения складывают; если равны — одно вычитают из другого. Когда коэффициенты не подходят, одно или оба уравнения предварительно умножают на числа. Так из трёх уравнений получают два уравнения с двумя переменными, которые можно решить знакомыми способами.
После решения системы с двумя переменными известны две части искомой тройки. Чтобы найти третью переменную, их подставляют в одно из исходных уравнений и решают получившееся линейное уравнение. Затем проверяют все три значения в исходной системе. Если при преобразованиях возникло неверное равенство, например 0 = 4, решений нет; если одно равенство стало тождеством 0 = 0, нужно продолжить анализ остальных условий: система может иметь бесконечно много решений.
| Этап или характеристика | Что делают | Результат |
|---|---|---|
| Запись системы | Выделяют все уравнения и переменные | Получают систему трёх линейных уравнений |
| Исключение первой переменной | Складывают или вычитают уравнения после выравнивания коэффициентов | Получают систему с двумя переменными |
| Исключение второй переменной | Решают полученную систему методом сложения или подстановки | Находят две переменные |
| Нахождение третьей переменной | Подставляют найденные значения в одно из исходных уравнений | Получают упорядоченную тройку |
| Проверка | Подставляют тройку во все исходные уравнения | Подтверждают правильность решения |
| Число решений | Анализируют полученную систему | Определяют одно, несколько или отсутствие решений |
Таблица помогает не пропустить этапы: сначала уменьшают число переменных, затем восстанавливают значения и проверяют тройку. В строке о числе решений важно учитывать, что система может иметь бесконечно много решений, а не только одно или ни одного. Если на любом этапе получается противоречие, исходная система решений не имеет.
Решить систему: x + y + z = 6; x − y = 0; z = 2. Удобно начать с уравнения, в котором переменная уже выражена без вычислений: оно сразу сообщает значение z. Затем из второго уравнения узнаем, как связаны x и y, и используем первое, чтобы найти их значения.
Из третьего уравнения получаем z = 2. Подставляем это значение в первое уравнение и получаем x + y + 2 = 6, то есть x + y = 4. Второе уравнение даёт x = y.
Так как x и y равны, в сумме x + y = 4 каждое из них равно 2. Значит, x = 2 и y = 2, а уже найденное значение z равно 2. Подстановка тройки (2; 2; 2) в первое уравнение даёт 6 = 6, во второе — 0 = 0, в третье — 2 = 2.
Ответ: (2; 2; 2).
Решить систему: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2. Во всех уравнениях есть z, поэтому его удобно исключить сложением пар уравнений с противоположными коэффициентами. Полученные равенства должны дать достаточно сведений, чтобы найти x и y, а затем z.
Складываем первое и второе уравнения: получаем 3x + 2z = 9, но переменная z ещё осталась. Чтобы получить равенство только с x и y, складываем второе и третье уравнения: 3x + y = 5. Также складываем первое и третье: 2x + 3y = 8. Теперь решаем систему этих двух равенств.
Из равенства 3x + y = 5 выражаем y = 5 − 3x. Подставляем в 2x + 3y = 8: 2x + 3(5 − 3x) = 8, откуда −7x = −7 и x = 1. Тогда y = 5 − 3 · 1 = 2.
Подставляем x = 1 и y = 2 в первое исходное уравнение: 1 + 2 + z = 6, поэтому z = 3. Проверка во втором уравнении даёт 2 − 2 + 3 = 3, в третьем — 1 + 4 − 3 = 2; первое также выполняется. Следовательно, найдены все три значения.
Ответ: (1; 2; 3).
Найти трёхзначное число, если сумма его цифр равна 13, цифра сотен вдвое больше цифры единиц, а цифра десятков на 1 больше цифры единиц. Цифры — три неизвестных, поэтому обозначим их отдельно и запишем каждое условие уравнением. После решения нужно убедиться, что цифры допустимы и стоят на нужных местах.
Обозначим цифру сотен через h, цифру десятков через t, а цифру единиц через u. По условию получаем систему: h + t + u = 13; h = 2u; t = u + 1. Из второго и третьего равенств выразим h и t через u.
Подставляем h = 2u и t = u + 1 в сумму цифр: 2u + (u + 1) + u = 13. Тогда 4u + 1 = 13, откуда u = 3. Значит, t = 4, а h = 6.
Все цифры — целые числа от 0 до 9, причём цифра сотен не равна нулю; значения 6, 4 и 3 этим условиям удовлетворяют. Проверяем сумму: 6 + 4 + 3 = 13, а также 6 = 2 · 3 и 4 = 3 + 1. Цифры образуют трёхзначное число.
Ответ: 643.
При сложении уравнений можно сложить не все слагаемые или неверно учесть знак переменной. Обычно это происходит, когда вычисления ведут торопливо и не записывают одинаково расположенные члены. Проверяй каждый коэффициент отдельно: например, при сложении −y и +y получается 0, а не 2y.
Иногда при умножении уравнения меняют только один член, хотя нужно умножить на число обе части и все слагаемые. Из-за этого получается уже другое уравнение и могут измениться решения. Чтобы себя проверить, раскрой умножение по всей строке, включая правую часть: например, 2(x − y + z = 4) превращается в 2x − 2y + 2z = 8.
После решения системы с двумя переменными некоторые считают работу законченной и не находят третью переменную. Так происходит потому, что два найденных значения выглядят как готовый ответ, хотя система содержит ещё одно неизвестное. Проверь, записана ли упорядоченная тройка, и подставь известные значения в исходное уравнение с оставшейся переменной.
Проверка только в одном уравнении не подтверждает решение всей системы. Можно случайно найти числа, подходящие к этой строке, но не подходящие к другим. Подставляй каждое значение на своё место во все исходные уравнения и убедись, что каждое равенство верно.
Для решения системы с тремя переменными нужны навыки решения линейных уравнений: раскрывать скобки, переносить слагаемые и выполнять действия с отрицательными числами. Также важно уметь решать системы с двумя переменными методом сложения и подстановки, потому что к ним сводят исходную задачу. Системы трёх переменных помогают решать текстовые задачи, где нужно найти три неизвестные величины или цифры. Позже этот способ станет основой для изучения более сложных алгебраических систем.
Почему тройка чисел должна удовлетворять всем уравнениям системы?
Система требует, чтобы все её уравнения выполнялись одновременно. Если тройка подходит только к одному уравнению, она не описывает общее решение системы.
Как выбрать, какие уравнения складывать или вычитать?
Выбирай пару уравнений, где коэффициенты одной переменной равны или противоположны. Если это не так, сначала умножь уравнение целиком на подходящее число, чтобы коэффициенты сравнялись.
Можно ли умножать уравнение на отрицательное число?
Да, можно умножить обе части уравнения на любое ненулевое число, в том числе отрицательное. Корни при этом не меняются, если умножить на число все слагаемые и правую часть.
Что делать, если после исключения переменной получается равенство 0 = 0?
Такое равенство верно при любых значениях переменных и само по себе не даёт нового ограничения. Продолжай решать систему по другим уравнениям: решений может быть бесконечно много, но это нужно проверить по всей системе.
Как понять, что система не имеет решений?
Если преобразования приводят к неверному равенству, например 0 = 5, система несовместна. Значит, ни одна тройка чисел не может удовлетворять всем её уравнениям одновременно.
49. Системы линейных уравнений с тремя переменными
