"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Способ сложения помогает решать системы линейных уравнений: уравнения преобразуют так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными или равными. Тогда при сложении или вычитании эта переменная исчезает, и остаётся уравнение с одной неизвестной. Найдя её значение, подставляют его в исходное уравнение, находят вторую переменную и проверяют полученную пару. Главное — выполнять преобразования со всеми членами уравнения и сохранять его решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Способ сложения — способ решения системы уравнений, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну переменную. Например, слагаемые с y могут взаимно уничтожиться, и останется уравнение с x. Этот приём нужен, когда по отдельности уравнения содержат две неизвестные, а после сложения одну из них можно убрать.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. Если преобразование меняет множество решений, полученный ответ может оказаться неверным или неполным. Поэтому при решении системы используют такие действия, после которых исходная и преобразованная системы сохраняют одни и те же пары значений.
Исключение переменной — получение уравнения с одной переменной путём сложения уравнений системы. Оно становится возможным, когда слагаемые с выбранной переменной при сложении дают ноль. Исключение нужно, чтобы сначала найти одну неизвестную, а затем с её помощью определить другую.
Решение системы — пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Например, для системы с x и y нужно подобрать сразу оба значения, а не только одно из них. Определение помогает понять, почему после вычислений требуется проверить пару в каждом исходном уравнении.
Представим уравнения как равенства, которые можно складывать почленно: левая часть с левой частью, правая с правой. Если коэффициенты при выбранной переменной противоположны, её слагаемые в сумме обращаются в ноль. Например, 4x + 2y и −4x + 3y при сложении дают 5y, потому что 4x − 4x = 0. Поэтому заранее выбирают переменную, чьи коэффициенты удобнее всего уничтожить.
Иногда подходящих коэффициентов сразу нет. Тогда одно или оба уравнения умножают на ненулевые числа, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали противоположными. Например, коэффициенты 2 и 3 при y можно превратить в 6 и −6: первое уравнение умножить на 3, второе — на −2. После этого сложение исключит y, а умножение на ненулевое число не изменит решения соответствующего уравнения.
Когда переменная исчезла, остаётся линейное уравнение с одной неизвестной. Его решают обычными преобразованиями: переносят слагаемые, приводят подобные и находят значение неизвестной. Затем найденное число подставляют в исходное уравнение, а не в результат сложения: так находят вторую переменную, которая вместе с первой образует решение.
Преобразования должны сохранять равносильность системы, то есть её решения. Умножение уравнения на ненулевое число сохраняет его решения, поскольку обе части меняются одинаково, а действие можно обратить делением на этот множитель. Сложение уравнений тоже не теряет решение системы: если пара удовлетворяет обоим равенствам, то удовлетворяет и их сумме. Но одного полученного суммарного уравнения для окончательного ответа недостаточно, поэтому после нахождения первой переменной используют исходное уравнение.
В завершение подставляют найденную пару значений в оба исходных уравнения. Проверка показывает, верны ли вычисления и не потерялся ли знак при сложении или подстановке. Если хотя бы одно равенство не выполняется, нужно проверить вычисления и преобразования, а не записывать пару как ответ.
| Ситуация | Действие | Результат |
|---|---|---|
| Коэффициенты при переменной противоположны | Сложить уравнения | Переменная исключается |
| Коэффициенты при переменной равны | Вычесть одно уравнение из другого | Переменная исключается |
| Коэффициенты не равны и не противоположны | Умножить уравнение или уравнения на ненулевые числа | Получить противоположные коэффициенты и сложить уравнения |
| Одна переменная найдена | Подставить её значение в исходное уравнение | Найти вторую переменную и проверить пару |
Сначала выберите переменную, которую удобнее исключить, и сравните её коэффициенты в двух уравнениях. Если они равны, вычитайте уравнения, а если противоположны — складывайте; в остальных случаях сначала подберите множители. После исключения переменной найдите вторую и проверьте пару в исходной системе.
Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. Здесь коэффициенты при y равны 1 и −1, то есть противоположны. Поэтому сложение сразу уберёт y и позволит найти x; затем останется подставить это значение в любое исходное уравнение.
Ответ: (4; 3). Порядок чисел соответствует переменным x и y: сначала записывают x, затем y.
Решите систему: 2x + 3y = 13, 3x − 2y = 0. Коэффициенты при y равны 3 и −2, поэтому простое сложение не уничтожит переменную. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: тогда коэффициенты при y станут 6 и −6. После сложения можно найти x, а подстановка даст y.
Ответ: (2; 3). Здесь можно было исключить и x, но выбранный способ привёл к целым коэффициентам и простому вычислению.
Решите систему: 3x + 2y = 16, 5x − 3y = −5. Ни при x, ни при y коэффициенты пока не равны и не противоположны. Выберем y: коэффициенты 2 и −3 удобно сделать равными по модулю, получив 6 и −6. Для этого первое уравнение умножим на 3, второе — на 2, затем сложим.
Ответ: (2; 5). Подбор множителей помогает увидеть, какая переменная исчезнет, а подстановка возвращает нас к исходным условиям системы.
Если складывать уравнения, хотя коэффициенты при выбранной переменной не противоположны, переменная не исчезнет. Так бывает, когда ученик торопится и не проверяет результат сложения коэффициентов. Перед действием вычислите их сумму: для исключения она должна быть равна нулю.
При умножении только части уравнения равенство перестаёт быть равносильным исходному. Например, если умножить на 2 левую часть, но забыть про свободное число справа, решение может измениться. Проверяйте, что множитель применён к каждому слагаемому с обеих сторон знака равенства.
Ошибки со знаками при сложении особенно часто возникают у свободных членов и отрицательных коэффициентов. Например, −5 + 2 = −3, а не 3; знак минус относится ко всему слагаемому. Пересчитайте сумму отдельно для коэффициентов и отдельно для правых частей, а затем проверьте полученное равенство.
Найти одну переменную — ещё не значит решить систему: ответом должна быть пара. Иногда вторую переменную забывают найти или не проверяют вычисления подстановкой. После нахождения первого значения обязательно подставьте его в исходное уравнение, найдите второе и проверьте оба равенства.
Чтобы применять способ сложения, нужно уметь решать линейные уравнения: после исключения переменной именно такое уравнение обычно и получается. Также пригодятся раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, особенно если сначала требуется подготовить уравнения. Аккуратные вычисления со знаками помогают избежать ошибок при сложении.
Способ сложения используют при решении систем линейных уравнений, где неизвестные связаны несколькими равенствами. Такие системы встречаются и в задачах: например, по двум условиям можно составить уравнения для двух неизвестных. Решив систему, получают значения, которые должны одновременно удовлетворять обоим условиям задачи.
Почему при сложении уравнений одна из переменных исчезает?
У переменной, которую исключают, коэффициенты противоположны, например 3 и −3. При сложении соответствующие слагаемые дают ноль: 3x + (−3x) = 0. Поэтому в результате остаётся уравнение только с другой переменной.
Что делать, если коэффициенты при переменной не противоположны?
Умножить одно или оба уравнения на ненулевые числа. Множители выбирают так, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали противоположными, а затем уравнения складывают.
Можно ли умножить только одно уравнение системы?
Да, если этого достаточно, чтобы получить нужные коэффициенты. Умножать можно и оба уравнения, но каждый раз множитель применяют ко всем членам соответствующего уравнения.
Почему уравнение умножают на ненулевое число?
При умножении на ненулевое число равенство сохраняет те же решения: исходные части можно разделить на этот множитель и вернуться к прежнему уравнению. На ноль умножать нельзя, потому что тогда получится равенство 0 = 0, которое уже не сохраняет информацию об исходном уравнении.
Как проверить, что найденная пара действительно является решением?
Подставить оба значения переменных в каждое из двух исходных уравнений. Если в обоих равенствах левая часть равна правой, пара является решением системы.
47. Способ сложения
