"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Способ сложения помогает решить систему линейных уравнений с двумя переменными: уравнения преобразуют так, чтобы при сложении одна переменная исчезла. Для этого иногда достаточно сложить уравнения сразу, а иногда нужно предварительно умножить одно или оба уравнения на ненулевые числа. Затем решают уравнение с одной неизвестной, подставляют найденное значение и проверяют пару в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений с двумя переменными — два уравнения, которые должны выполняться при одних и тех же значениях переменных, обычно x и y. Их записывают вместе и объединяют фигурной скобкой. Это нужно, чтобы видеть: значения x и y ищут не для каждого уравнения отдельно, а сразу для обоих.
Решение системы — пара значений переменных, обращающая в верные равенства оба уравнения системы. Например, если x = 2 и y = 3 подходят к каждому уравнению, то пара (2; 3) — решение. Это определение помогает отличить ответ системы от промежуточного значения одной переменной.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении важно переходить от исходной системы только к равносильной, иначе можно потерять правильный ответ или получить лишний. Поэтому преобразования уравнений выбирают так, чтобы набор подходящих пар не менялся.
Способ сложения — способ решения системы, при котором уравнения преобразуют так, чтобы при сложении исключить одну из переменных. Исключить значит убрать переменную из уравнения, полученного после сложения. Этот приём нужен, чтобы свести систему к обычному линейному уравнению с одной неизвестной.
Уравнение можно умножить на одно и то же ненулевое число с обеих сторон: равенство сохранится, а его решения не изменятся. Например, если 2x + y = 5, то после умножения обеих частей на 3 получим 6x + 3y = 15. Все пары, подходившие к первому уравнению, подходят и ко второму, и наоборот: деление на 3 возвращает исходное равенство. Поэтому такое преобразование позволяет подготовить систему к сложению, не меняя её решений.
Чтобы выбрать переменную для исключения, сравни коэффициенты при x и при y. Удобнее начать с той переменной, коэффициенты которой уже противоположны или их можно быстро сделать противоположными. Если коэффициенты равны по модулю, а знаки разные, уравнения можно сложить сразу; если знаки одинаковые, достаточно сменить знак одного уравнения, умножив его целиком на −1. Если числа разные, ищут их общий кратный и умножают уравнения так, чтобы коэффициенты выбранной переменной стали противоположными.
При сложении складывают левые части уравнений между собой и правые части между собой. Например, если в одном уравнении есть 4x, а в другом −4x, то эти слагаемые дают 4x − 4x = 0. Переменная x исчезает, и остаётся уравнение только с y; его можно решить привычными действиями. Именно подбор противоположных коэффициентов превращает систему в одно уравнение с одной неизвестной.
После решения полученного уравнения известно значение только одной переменной, поэтому работу нужно продолжить. Подставь найденное число вместо этой переменной в любое из исходных уравнений и найди вторую. Обычно выбирают уравнение, в котором вычисления проще, например с небольшими коэффициентами. Подстановка связывает две переменные и восстанавливает полную пару решения.
Найденную пару следует проверить в обоих исходных уравнениях. Подставь значения вместо x и y и вычисли левую часть каждого равенства: она должна совпасть с правой частью. Проверка нужна потому, что при вычислениях можно ошибиться со знаком или арифметикой, а решение системы обязано подходить сразу к двум уравнениям. После проверки запиши ответ в виде пары (x; y).
| Коэффициенты при выбранной переменной | Что сделать перед сложением | Что получится после сложения |
|---|---|---|
| Уже противоположные | Сложить уравнения без изменений. | Переменная исключится. |
| Одинаковые | Умножить одно уравнение на −1. | Коэффициенты станут противоположными, переменная исключится. |
| Разные, но имеют общий кратный | Умножить уравнения на подходящие ненулевые числа. | Противоположные коэффициенты уничтожатся при сложении. |
| Одна переменная исключена: дальнейшие действия | Решить уравнение с оставшейся переменной, затем подставить найденное значение в исходное уравнение. | Найти вторую переменную и записать пару решения. |
Сначала выбери переменную, которую проще исключить, и сравни коэффициенты при ней в двух уравнениях. По строке таблицы определи, нужно ли домножать уравнения или можно складывать сразу. После сложения переходи к последней строке: найди одну переменную, затем вторую подстановкой.
Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому y сразу исчезнет при сложении. Это самый короткий путь: систему не нужно предварительно преобразовывать.
Ответ: (4; 3).
Решите систему: 2x + 3y = 13, 4x − 3y = 5. Удобно исключить y: его коэффициенты уже противоположны, 3 и −3. После сложения останется уравнение только с x, а y можно найти подстановкой.
Ответ: (3; 7/3).
Решите систему: 3x + 2y = 16, 5x − 3y = 1. Коэффициенты при y — 2 и −3: они не противоположны, но их можно сделать равными по модулю 6. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы получить 6y и −6y.
Ответ: (50/19; 77/19).
Умножают на число только один член уравнения, например заменяют 2x + y = 5 на 6x + y = 5 при умножении на 3. Так изменяется уравнение и его решения: нужно умножить на 3 всю левую часть и правую, получив 6x + 3y = 15. Чтобы проверить себя, проследи, что множитель применён к каждому слагаемому и к правой части.
Неправильно выбирают множители или знаки, поэтому коэффициенты при переменной не уничтожаются. Часто это происходит, если сравнивают сами числа, но забывают, что для сложения коэффициенты должны быть противоположными, например 6 и −6. Перед сложением выпиши новые коэффициенты отдельно и проверь, что их сумма равна нулю.
При сложении теряют знак отрицательного слагаемого или складывают коэффициенты вместо соответствующих членов. Например, x + (−y) нужно складывать как x − y, а одинаковые переменные объединять отдельно от чисел. Записывай сложение в скобках и проверяй результат по слагаемым: отдельно для x, y и свободных чисел.
Находят одну переменную и считают решение завершённым, хотя система требует пару значений. Это легко пропустить, если остановиться сразу после исключения переменной. Найди вторую переменную подстановкой, затем проверь оба исходных равенства; только после этого записывай ответ.
Для способа сложения нужны навыки решения линейных уравнений, преобразования выражений и действий с отрицательными числами. Они помогают правильно раскрывать скобки, переносить слагаемые и выполнять вычисления с коэффициентами. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно повторить их до решения системы.
Способ сложения опирается на свойства равенств: можно сложить равные части или умножить их на одно и то же ненулевое число. Благодаря этому систему можно преобразовать, сохранив её решения. Метод удобно сравнивать со способом подстановки: оба приводят к уравнению с одной неизвестной, но путь к нему различается.
Системы возникают в задачах, где нужно одновременно найти два неизвестных числа, например по двум условиям. Способ сложения помогает решать такие задачи после составления уравнений. Этот же принцип используют и в системах с большим числом уравнений, последовательно исключая неизвестные.
Как понять, какую переменную удобнее исключить?
Сравни коэффициенты при x и при y. Выбирай переменную, для которой коэффициенты уже противоположны или их проще сделать противоположными умножением на небольшие числа.
Что делать, если коэффициенты при переменной одинаковые?
Умножь одно уравнение целиком на −1. Тогда коэффициенты станут противоположными, и при сложении эта переменная исключится.
Можно ли умножать уравнение на дробное число?
Да, если число не равно нулю. При умножении обязательно умножай на него обе части уравнения целиком; при этом решения уравнения сохраняются.
Почему после сложения уравнений одна переменная исчезает?
Её коэффициенты подбирают противоположными: например, 3 и −3. При сложении соответствующие слагаемые дают 3x − 3x = 0, поэтому переменная больше не входит в полученное уравнение.
Обязательно ли проверять найденную пару в обоих уравнениях?
Да. Решением системы считается пара, которая обращает в верные равенства оба исходных уравнения, а не только преобразованное уравнение.
44. Способ сложения
