43. Способ подстановки

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые требуется удовлетворить одновременно. Например, числа должны подходить и к первому, и ко второму уравнению. Поэтому решить систему — не то же самое, что решить только одно из её уравнений. Общие неизвестные связывают уравнения между собой.

Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого каждое уравнение системы становится верным. Если неизвестные обозначены x и y, решение обычно записывают парой (x; y). Порядок чисел важен: первое значение относится к x, второе — к y. Это определение помогает понять, почему нужно проверить оба уравнения.

Способ подстановки — способ решения системы, при котором из одного уравнения выражают одну неизвестную и подставляют полученное выражение в другое уравнение. Например, если из равенства следует y = 7 − x, то вместо y в другом уравнении можно записать 7 − x. Так две неизвестные заменяются одной. Метод особенно удобен, когда выражение получается простым.

Равносильные системы — системы, имеющие один и тот же набор решений. При решении подстановкой мы преобразуем исходную систему так, чтобы её решения сохранились, но вычисления стали проще. Поэтому найденную пару можно считать решением исходной системы. Проверка подстановкой подтверждает, что преобразования выполнены верно.

Как это устроено

Сначала выбирают уравнение и неизвестную, которую удобно выразить. Особенно просто это сделать, когда коэффициент при неизвестной равен 1 или −1: достаточно перенести остальные слагаемые и, при необходимости, поменять знаки. Например, из x + y = 7 легко получить x = 7 − y. Если выбрать уравнение с другими коэффициентами, может появиться дробь, а с ней легче ошибиться, поэтому сначала ищут более простой вариант.

Затем выражение подставляют вместо выбранной неизвестной во второе уравнение. В результате вместо двух букв остаётся одна, ведь первая уже заменена выражением через вторую. Например, если x = 7 − y, то в уравнении x − y = 1 вместо x записывают 7 − y. Получается уравнение только с y, которое можно решать привычными действиями.

После подстановки решают полученное уравнение и находят значение оставшейся неизвестной. Нужно раскрыть скобки, если они есть, привести подобные слагаемые и выполнить действия одинаково с обеими частями равенства. Полученное число пока является значением только одной переменной. Чтобы не потерять связь между переменными, следующим шагом его подставляют в выражение, найденное в начале.

Подставив найденное значение в выражение, вычисляют вторую неизвестную. Например, если получилось y = 3 и ранее было x = 7 − y, то x = 7 − 3 = 4. Теперь известны оба числа, и можно записать пару (4; 3). Не следует останавливаться после решения уравнения с одной неизвестной: без второго значения ответ системы неполон.

Затем пару проверяют в обоих исходных уравнениях, а не только в том, которое решали после подстановки. Решение системы должно сделать верными все её уравнения, а проверка помогает заметить потерянный знак или ошибку в вычислении. Число решений тоже определяется итогом: если получилось одно значение, обычно система имеет одно решение; если после упрощения вышло неверное равенство, решений нет. Если же осталось верное равенство, переменная не ограничена этим уравнением, и система может иметь бесконечно много решений.

Этапы решения системы способом подстановки

Используй таблицу как последовательный план: переходи к следующему этапу, когда закончил предыдущий. Особенно внимательно выполняй подстановку и проверку, потому что именно здесь легко пропустить знак или часть уравнения. Если проверка не проходит, вернись к вычислениям и найди место ошибки.

Разбор задач

Система x + y = 7, x − y = 1

В первом уравнении коэффициент при x равен 1, поэтому удобно выразить именно x. Тогда во втором уравнении вместо x можно подставить полученное выражение, и останется найти y. После этого вычислим x и проверим пару в обоих равенствах.

1. Из первого уравнения x + y = 7 выразим x: x = 7 − y. Это выражение равносильно первому уравнению.
2. Подставим x = 7 − y во второе уравнение: (7 − y) − y = 1. Скобки показывают, что вычитается всё выражение 7 − y.
3. Решим уравнение: 7 − 2y = 1, −2y = −6, y = 3. Подставим это значение в x = 7 − y и получим x = 4.
4. Проверим: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. Оба равенства верны, значит, пара подходит системе.

Ответ: (4; 3).

Система 2x + y = 8, 3x − 2y = −1

В первом уравнении y имеет коэффициент 1, поэтому выразим y: это позволит обойтись без дробей на первом шаге. Важно подставить всё выражение 8 − 2x во второе уравнение и сохранить скобки перед умножением на −2. После решения уравнения найдём x, а затем y.

1. Из 2x + y = 8 получаем y = 8 − 2x. Переменную y удобно выразить потому, что её коэффициент равен 1.
2. Подставим выражение во второе уравнение: 3x − 2(8 − 2x) = −1. Скобки нужны, потому что число −2 умножается на оба слагаемых внутри них.
3. Раскроем скобки и решим: 3x − 16 + 4x = −1, 7x = 15, x = 15/7. Теперь подставим это число в y = 8 − 2x.
4. Получаем y = 8 − 30/7 = 26/7. Проверка: 2·15/7 + 26/7 = 8; 3·15/7 − 2·26/7 = −1.

Ответ: (15/7; 26/7).

Система 3x + 2y = 12, 5x − 3y = 1

Здесь удобно выразить x из первого уравнения, хотя получится дробное выражение. Дробь не мешает способу подстановки: важно записать её точно и аккуратно выполнять действия. Проверка в конце подтвердит оба найденных значения.

1. Из 3x + 2y = 12 выразим x: 3x = 12 − 2y, поэтому x = (12 − 2y)/3. Теперь подставим это выражение вместо x во второе уравнение.
2. Получим 5(12 − 2y)/3 − 3y = 1. Умножим обе части на 3: 60 − 10y − 9y = 3, откуда 19y = 57 и y = 3.
3. Подставим y = 3 в выражение для x: x = (12 − 2·3)/3 = 2. Значит, предполагаемая пара решения — (2; 3).
4. Проверим оба уравнения: 3·2 + 2·3 = 12, а 5·2 − 3·3 = 1. Оба равенства верны, следовательно, вычисления выполнены правильно.

Ответ: (2; 3).

Типичные ошибки

• После выражения неизвестной её подставляют только в часть второго уравнения, а не вместо неё во всё уравнение. Так нарушается равенство: нужно заменить каждое вхождение этой переменной. Ошибка возникает, когда торопятся и теряют из виду отдельные слагаемые. Проверь себя, перечитав уравнение и отметив каждую замену.

• При подстановке выражения со знаком минус теряют скобки и меняют знаки неверно. Например, в записи −2(8 − 2x) число −2 умножается и на 8, и на −2x. Ошибка часто появляется, если раскрывать скобки без внимания к знаку перед ними. Для проверки умножь каждый член выражения на стоящий перед скобками множитель.

• Находят одну неизвестную и считают решение завершённым, не вычислив вторую. Но ответ системы должен содержать значения всех её неизвестных, иначе это не пара решения. Так происходит, когда забывают вернуться к выражению, полученному в начале. После решения уравнения обязательно подставь найденное число в это выражение.

• Проверяют пару только в одном уравнении. Даже если одно равенство верно, второе может не выполняться из-за ошибки или неверного значения. Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению, поэтому проверяй по очереди все исходные равенства. Если хотя бы одно не сходится, пересмотри ход решения.

Связь с другими темами

До изучения способа подстановки нужно уметь выражать одну переменную через другую в линейном уравнении и решать линейные уравнения. Эти действия составляют основу метода: сначала появляется выражение, затем уравнение с одной неизвестной. Способ пригодится при решении систем линейных уравнений и текстовых задач, которые к ним сводятся. Его полезно сравнивать со способом сложения: выбирай тот метод, с которым конкретную систему решить проще.

Что запомнить

• Из одного уравнения вырази одну неизвестную.
• Подставь выражение во второе уравнение.
• Реши полученное уравнение с одной неизвестной.
• Найди значение второй неизвестной.
• Запиши решение системы парой значений.
• Проверь пару в каждом уравнении исходной системы.