"Алгебра", Алимов Ш.А.
Способ подстановки помогает решить систему уравнений с двумя переменными, заменив её уравнением с одной переменной. Для этого одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение в оставшееся уравнение. После решения находят значение второй переменной и проверяют пару чисел в обоих исходных уравнениях. Главное — аккуратно сохранять знаки и заменять переменную во всём уравнении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений с двумя переменными — несколько уравнений, которые должны выполняться при одних и тех же значениях переменных. Например, если в системе есть x и y, одни и те же числа для них подставляют во все уравнения. Это отличает систему от двух уравнений, которые решают независимо друг от друга.
Решение системы — пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Числа обычно записывают в порядке переменных: сначала x, потом y, например (2; 5). Проверка пары показывает, подходит ли она сразу для всех условий системы.
Способ подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение в оставшееся уравнение. Так вместо системы с двумя переменными получается уравнение с одной переменной. После его решения находят второе значение и составляют пару.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При преобразованиях способом подстановки мы стремимся получить более простую, но равносильную систему, чтобы её решение подходило и исходной. Поэтому в конце полезно подставить найденную пару в первоначальные уравнения.
Сначала выбирают уравнение и переменную, которую будет проще выразить. Особенно удобно, если коэффициент при переменной равен 1 или −1: тогда не нужно делить на другое число, и меньше вероятность получить дробь. Например, из x + y = 7 легко сразу выразить x или y. Если оба варианта возможны, выбирай тот, который упростит дальнейшие вычисления.
Затем одну переменную выражают через другую, выполняя одинаковые преобразования с обеими частями уравнения. Например, из x + y = 7 можно получить x = 7 − y: для этого из обеих частей вычитают y. Это выражение можно подставить вместо x в другое уравнение, потому что исходное уравнение утверждает, что x и 7 − y имеют одинаковое значение.
После замены в другом уравнении остаётся только одна переменная. Если вместо x подставляют выражение 7 − y, заменяют каждое вхождение x, а само выражение часто берут в скобки. Скобки особенно важны, когда перед заменяемой переменной стоит знак минус: иначе можно ошибиться со знаками при раскрытии скобок. Получившееся уравнение решают привычными действиями.
Найденное значение подставляют в выражение для первой переменной. Например, если получилось y = 3, а ранее было x = 7 − y, то x = 7 − 3 = 4. Теперь известны обе переменные, и их можно записать парой. Только одно число пока не является ответом системы с двумя переменными.
В завершение проверяют пару в обоих уравнениях, подставляя значения на места переменных. Если оба равенства верны, пара действительно является решением исходной системы. Если хотя бы одно равенство неверно, стоит проверить выражение переменной, знаки при подстановке и вычисления. Проверка нужна потому, что ошибка на любом шаге может дать неверную пару.
| Этап | Действие | Что получаем |
|---|---|---|
| Выбор уравнения и переменной | Находим удобное уравнение и переменную | План с простыми преобразованиями |
| Выражение одной переменной через другую | Преобразуем уравнение | Формулу для подстановки |
| Подстановка выражения во второе уравнение | Заменяем переменную выражением | Уравнение с одной переменной |
| Решение уравнения с одной переменной | Находим значение переменной | Одно число из искомой пары |
| Нахождение второй переменной и проверка | Подставляем найденное число в формулу и проверяем пару | Ответ системы |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда завершил предыдущий. Если ответ при проверке не подходит, возвращайся к записи на том шаге, где могла появиться ошибка. Особенно внимательно сверяй выражение переменной и подстановку в исходное уравнение.
Задача 1. Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. Из первого уравнения удобно выразить x: переменная стоит с коэффициентом 1. Тогда x = 7 − y, и это выражение подставим вместо x во второе уравнение.
Ответ: (4; 3). Оба уравнения верны, значит, пара подходит системе. Обрати внимание: значение y найдено из уравнения с одной переменной, а x восстановлено из выражения.
Задача 2. Решите систему: 2x + y = 8, 3x − 2y = 5. Из первого уравнения легко выразить y, поэтому получим y = 8 − 2x. При подстановке во второе уравнение важно взять всё выражение в скобки, поскольку перед y стоит коэффициент −2.
Ответ: (3; 2). Скобки помогли правильно изменить знаки при раскрытии: −2 умножается на оба слагаемых. Проверка подтвердила равенства в обеих строках системы.
Задача 3. Решите систему: 3x + 2y = 4, 5x − 3y = 17. Здесь удобно выразить y из первого уравнения, хотя получится выражение с дробью. Подставим его во второе и умножим обе части получившегося уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя.
Ответ: (46/19; −31/19). Дробный ответ допустим, если он удовлетворяет обоим уравнениям. При проверке дроби удобно приводить к общему знаменателю.
При выражении переменной можно потерять знак или неверно перенести слагаемое. Так происходит, когда преобразование делают устно и забывают, что при переносе слагаемое меняет знак. Проверь себя, подставив выраженное значение обратно в то уравнение, откуда оно получено.
Иногда выражение подставляют вместо другой переменной или заменяют не все её вхождения. Также забывают скобки, особенно если перед переменной стоит минус или число. Сверь подстановку с исходным уравнением: каждый символ выбранной переменной должен быть заменён целиком.
После решения уравнения с одной переменной можно остановиться и записать только найденное число. Но для системы с двумя переменными этого недостаточно: нужно найти второе значение из ранее полученного выражения. Перед записью ответа проверь, что в нём есть оба числа и ясно указан их порядок.
Бывает, что найденную пару проверяют только в одном уравнении. Это не гарантирует, что выполнено второе условие системы: число может подойти одному уравнению и не подойти другому. Подставь пару в каждое исходное уравнение и отдельно проверь оба равенства.
Для подстановки нужны навыки преобразования линейных уравнений: важно уметь переносить слагаемые, делить обе части на число и выражать одну переменную через другую. При работе со скобками пригодится умение раскрывать их и учитывать знаки. Эти действия помогают выполнить замену без ошибок.
Способ подстановки продолжает изучение систем линейных уравнений и даёт один из способов их решения. Его можно сравнивать с другими методами: выбор зависит от того, какие преобразования проще в конкретной системе. Сами решения при правильных действиях остаются одинаковыми.
Решение систем пригодится при составлении математических моделей задач, где неизвестные связаны несколькими условиями. Позже системы можно будет изучать и графически: уравнениям соответствуют графики, а их общая точка связана с решением системы. Поэтому навык находить пару значений остаётся полезным и в следующих темах.
Как понять, из какого уравнения удобнее выражать переменную?
Выбирай уравнение, в котором переменная уже имеет коэффициент 1 или −1: тогда её проще выразить. Если таких уравнений нет, сравни преобразования и выбери те, где не появятся сложные дроби.
Можно ли выразить любую из двух переменных?
Да, можно выразить любую переменную из любого уравнения, если преобразования выполнены верно. Но один выбор может привести к более простым вычислениям, поэтому удобнее заранее оценить, где будет меньше дробей и скобок.
Зачем при подстановке иногда нужны скобки?
Скобки показывают, что вместо переменной подставляется всё выражение, а не только его часть. Они особенно нужны, если перед заменяемой переменной стоит минус или выражение содержит несколько слагаемых.
Что делать, если после подстановки получается уравнение с дробями?
Решай его обычными преобразованиями: приведи дроби к общему знаменателю или умножь обе части уравнения на общий знаменатель. При умножении следи, чтобы он был применён ко всем слагаемым.
Почему найденную пару нужно проверять в обоих уравнениях?
Решением системы считается пара, которая делает верными все её уравнения. Проверка только в одном уравнении не показывает, подходит ли пара для другого, поэтому подставь оба числа в каждое исходное уравнение.
§ 34. Способ подстановки
