"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Способ подстановки помогает решить систему уравнений, в которой нужно найти значения нескольких неизвестных, подходящие сразу для всех уравнений. Сначала одну неизвестную выражают через другую, а затем подставляют это выражение во второе уравнение. Так система сводится к уравнению с одной неизвестной. После его решения находят второе значение и проверяют пару в исходных уравнениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые нужно выполнить одновременно. Например, пара чисел должна подходить и к первому, и ко второму уравнению. Эта запись объединяет условия, которые нельзя решать по отдельности, если нужно найти общее решение. Системы часто записывают фигурной скобкой.
Решение системы — значения неизвестных, при подстановке которых каждое уравнение системы становится верным. Для системы с x и y решением будет пара чисел, например (x; y). Одно число в паре может подходить к одному уравнению, но не к другому, поэтому проверяют оба. Понятие решения помогает понять, какой именно ответ нужно искать.
Способ подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной неизвестной подставляют вместо неё в другое уравнение. Сначала из одного уравнения получают, например, y = …, а потом заменяют y этим выражением во втором. Так вместо двух неизвестных остаётся одна. Способ нужен, чтобы свести систему к обычному уравнению.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении важно выполнять такие преобразования, которые не меняют набор подходящих пар чисел. Например, выразить неизвестную можно с помощью равносильных преобразований уравнения. Это понятие помогает следить, чтобы по пути к ответу не потерять решение и не добавить лишнее.
Одно уравнение системы задаёт связь между неизвестными. Если из равенства выразить одну неизвестную, например получить y = 7 − x, то это будет равносильная запись того же условия: любая подходящая пара по-прежнему ему соответствует. Значит, вместо y в дальнейшем можно использовать выражение 7 − x. Так мы не угадываем неизвестную, а переписываем известную связь в удобном виде.
Начать можно с любого уравнения, но не все варианты одинаково удобны. Если при x или y стоит коэффициент 1 либо −1, обычно можно быстро выразить эту неизвестную без дробей. Например, из x + y = 7 сразу получается y = 7 − x. Если коэффициент другой, выражение тоже получить можно, но иногда появятся дроби; это не запрещает способ, а лишь требует аккуратнее считать.
Полученное выражение подставляют именно в другое уравнение, потому что решение системы должно удовлетворять двум условиям сразу. Первое уравнение уже использовали, чтобы выразить связь, а второе проверяет, какие значения этой связи подходят и ему. Если подставить выражение обратно в то же уравнение, новое условие о второй неизвестной не появится. Скобки помогают заменить неизвестную целиком, особенно если выражение состоит из нескольких слагаемых.
После подстановки в уравнении остаётся одна неизвестная, поэтому его решают обычными действиями: раскрывают скобки, переносят слагаемые и находят значение. Затем его подставляют в исходное выражение для второй неизвестной. Например, если получилось x = 3, а y = 7 − x, то y = 7 − 3 = 4. Так из одного найденного числа восстанавливается вся пара.
Наконец, оба значения проверяют в исходных уравнениях. Подстановка превратила систему в уравнение с одной неизвестной, но ошибки в преобразованиях или вычислениях всё ещё возможны. Если пара даёт верные равенства в обоих исходных уравнениях, она действительно является решением системы. Если одно равенство неверно, нужно проверить вычисления и шаги подстановки.
| Этап | Действие | Что получаем |
|---|---|---|
| Выразить неизвестную | Из одного уравнения выразить x через y или y через x. | Равенство для одной неизвестной. |
| Подставить выражение | Заменить эту неизвестную выражением в другом уравнении. | Уравнение с одной неизвестной. |
| Решить уравнение с одной неизвестной | Выполнить равносильные преобразования и найти значение. | Значение первой неизвестной. |
| Найти вторую неизвестную | Подставить найденное число в выражение из первого шага. | Значение второй неизвестной и пара. |
| Проверить ответ | Подставить пару в каждое исходное уравнение. | Подтверждение, что ответ верен. |
Пользуйся таблицей сверху вниз: каждый этап опирается на предыдущий. Записывай выражение для второй неизвестной, чтобы не потерять его после решения уравнения. Проверку выполняй в исходной системе, а не только в полученном уравнении.
Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. В первом уравнении удобно выразить y: коэффициент при ней равен 1. Подставим выражение во второе уравнение, чтобы найти x.
Решите систему: 2x + y = 11, 3x − 2y = 0. Здесь удобно выразить y из первого уравнения, потому что её коэффициент равен 1. Затем заменим y во втором уравнении и решим его относительно x.
Решите систему: 3x + 2y = 4, 5x − 3y = 19. Коэффициенты не равны 1 или −1, поэтому при выражении появится дробь. Выразим x из первого уравнения и внимательно заключим подстановку в скобки.
При выражении неизвестной иногда неправильно меняют знак слагаемого. Это случается, если мысленно «переносят» его через знак равенства и забывают, что при переносе знак меняется. Проверяй преобразование обратным действием или подставь полученное выражение в исходное уравнение. Например, из x + y = 7 следует y = 7 − x, а не y = 7 + x.
Другая ошибка — подставить выражение не вместо той неизвестной или заменить только часть выражения. Такое легко сделать, если не обозначить, какую переменную выразили. Заключай всю замену в скобки, особенно перед умножением на число или перед знаком минус. После подстановки проверь, что в уравнении действительно осталась одна неизвестная.
Иногда находят первую неизвестную и на этом останавливаются. Но система требует пару значений, а без второго числа ответ неполный. Вернись к выражению, полученному на первом шаге, и подставь в него найденное значение. В конце запиши обе координаты в правильном порядке: сначала x, затем y.
Бывает, что ответ проверяют только в уравнении после подстановки. Оно подтверждает лишь связь, полученную в ходе решения, и не заменяет проверку исходной системы. Подставь найденную пару отдельно в оба первоначальных равенства и вычисли их левые части. Ответ верен, только если оба равенства выполняются.
Перед решением системы способом подстановки нужно уметь решать линейные уравнения и выражать одну переменную через другую. Эти навыки нужны, чтобы преобразовать первое уравнение и затем решить уравнение с одной неизвестной. Сам способ применяется к системам линейных уравнений, в том числе к системам, которые возникают при решении текстовых задач. Его можно сравнить со способом сложения: оба метода сводят систему к уравнению с одной неизвестной, но используют разные действия.
Как понять, какую неизвестную лучше выразить?
Выбирай уравнение, где при одной из неизвестных стоит коэффициент 1 или −1. Тогда выразить её обычно проще и не придётся работать с дробями. Если таких уравнений нет, можно выразить неизвестную из любого уравнения.
Можно ли выразить неизвестную из любого уравнения системы?
Да, если преобразовать уравнение правильно и получить выражение для одной неизвестной через другую. Удобнее выбирать уравнение, где это можно сделать без дробей. После выражения подставь полученное значение в другое уравнение системы.
Зачем подставлять выражение во второе уравнение?
Первое уравнение показывает связь между неизвестными, а решение должно подходить одновременно к обоим уравнениям. Подстановка переносит эту связь во второе уравнение. В результате остаётся уравнение с одной неизвестной.
Что делать после того, как найдена одна неизвестная?
Подставь найденное значение в выражение, которым ты ранее выразил другую неизвестную. Вычисли её значение, а затем запиши пару чисел. Проверь эту пару в исходных уравнениях.
Почему ответ нужно проверять в обоих уравнениях?
Преобразования могли привести к ошибке, а подстановка использует оба уравнения системы. Проверка в каждом из них подтверждает, что пара чисел подходит одновременно. Если равенство хотя бы в одном уравнении неверно, ответ не является решением системы.
§ 34. Способ подстановки
