§ 33. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений

Определения и обозначения

Уравнение первой степени с двумя неизвестными записывают так: ax + by = c, где a, b и c — числа, а a и b не равны нулю одновременно. Буквы x и y обозначают неизвестные значения. Такая запись нужна, чтобы описывать связь между двумя величинами.

Решение уравнения с двумя неизвестными — это упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Первое число всегда относится к x, второе — к y. Поэтому порядок координат менять нельзя.

График уравнения — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. При ненулевых a и b уравнение ax + by = c задаёт прямую. График помогает увидеть все решения и взаимное положение двух уравнений.

Система уравнений — это несколько уравнений, объединённых фигурной скобкой. Её решение — пара значений неизвестных, удовлетворяющая каждому уравнению системы. Значит, в системе равенства должны выполняться одновременно.

Как это устроено

В уравнении с двумя неизвестными обычно можно выбрать значение одной буквы, а затем найти значение другой. Например, из 2x + y = 6 получаем y = 6 − 2x: каждому выбранному x соответствует своё y. Поэтому появляются разные пары, а не единственное решение.

Если отметить на координатной плоскости все найденные пары, точки выстроятся вдоль одной прямой. Это происходит потому, что зависимость y = kx + b изменяется равномерно: при одинаковом увеличении x значение y меняется на одну и ту же величину. Так геометрическая прямая показывает множество числовых решений.

Построить прямую можно по двум подходящим парам. Сначала выберите удобные значения x, вычислите y и получите две точки, например (0; 4) и (2; 0) для уравнения 2x + y = 4. После нанесения точек проведите через них прямую, потому что двух точек достаточно для её определения.

В системе одна и та же пара должна подходить двум уравнениям сразу. На графике это означает, что точка обязана лежать на обеих прямых. Поэтому общая точка графиков и есть решение системы: её координаты одновременно удовлетворяют обоим равенствам.

Число решений зависит от положения прямых. Если они пересекаются, общая точка одна и решение единственное; если параллельны, общих точек нет. При совпадении прямых любая их точка подходит обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много.

Уравнение с двумя неизвестными и система уравнений

Таблица помогает отличить отдельное уравнение от системы и не забыть, каким должно быть решение. При проверке сначала определите, что именно дано, а затем подставьте пару чисел. Для системы эту проверку проводят по каждому уравнению.

Разбор задач

Задача 1

Проверим, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + 2y = 8. Затем найдём ещё одну пару решений. Для проверки важно поставить 2 вместо x, а 1 вместо y.

1. Подставим числа: 3 · 2 + 2 · 1 = 6 + 2 = 8.
2. Равенство верно, значит, пара (2; 1) подходит.
3. Выберем x = 0 и найдём y: 3 · 0 + 2y = 8, откуда y = 4.

Ответ: (2; 1) — решение; ещё одно решение — (0; 4).

Задача 2

Построим график уравнения 2x + y = 4 и проверим пару (1; 2). Сначала выразим y, чтобы получить удобную формулу прямой. Затем найдём две точки и отдельно выполним проверку.

1. Перенесём 2x: y = 4 − 2x.
2. При x = 0 получаем y = 4, точка A(0; 4); при x = 2 получаем y = 0, точка B(2; 0).
3. Отметим A и B и проведём через них прямую.
4. Для пары (1; 2): 2 · 1 + 2 = 4, равенство верно.

Ответ: график — прямая через точки (0; 4) и (2; 0); пара (1; 2) является её решением.

Задача 3

Решим графически систему 2x + y = 5 и x − y = 1. Выразим y в обоих уравнениях, чтобы построить две прямые. Их общая точка даст пару, которую затем проверим подстановкой.

1. Из первого уравнения y = 5 − 2x, из второго y = x − 1.
2. Прямые пересекаются при x = 2: тогда y = 1.
3. Проверим: 2 · 2 + 1 = 5 и 2 − 1 = 1.

Ответ: решение системы — пара (2; 1), то есть точка пересечения прямых.

Типичные ошибки

Одно число вместо пары. Иногда решением считают только найденное x, забывая о y. Это происходит по привычке от обычных уравнений. Запишите обе координаты и подставьте их вместе.

Перестановка координат. Пары (x; y) и (y; x) обычно различны, потому что буквы имеют разные роли. Ошибка возникает при невнимательной записи ответа. Проверяйте сначала первое число по x, затем второе по y.

Проверка одного уравнения системы. Пара может выполнить первое равенство, но нарушить второе. Такую пару иногда принимают за решение из-за неполной проверки. Подставляйте значения во все уравнения системы.

Ожидание одного решения всегда. Две прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Ошибка появляется, если не смотреть на график целиком. Определите, сколько общих точек у прямых.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь подставлять числа в выражения и преобразовывать линейные уравнения. Также пригодится построение прямой по таблице значений или двум точкам. Эти умения позволяют быстро находить и проверять решения.

Понятие системы станет основой для способов решения систем уравнений: подстановки, сложения и графического метода. Системы помогают составлять математические модели задач о движении, покупках и совместной работе. Общая пара переменных описывает ситуацию сразу несколькими условиями.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя неизвестными — упорядоченная пара чисел.
• Одна линейная зависимость двух неизвестных обычно имеет много решений.
• График уравнения первой степени с двумя неизвестными — прямая.
• Решение системы удовлетворяет каждому её уравнению.
• Графически решение системы — точка пересечения графиков.
• Число решений системы зависит от взаимного расположения прямых.