§ 32. Линейная функция и её график

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — заданные числа. Буква x обозначает независимую переменную: мы выбираем её значение сами. После этого по формуле находим соответствующее значение y, поэтому запись задаёт зависимость одной величины от другой.

Угловой коэффициент k — коэффициент при x в формуле линейной функции. Он показывает, как меняется y при изменении x, и задаёт наклон графика. По знаку k можно определить направление: при положительном k прямая поднимается слева направо, а при отрицательном опускается.

Свободный член b — слагаемое, в котором нет x. Он показывает значение функции при x = 0, потому что y = k · 0 + b = b. Поэтому число b помогает сразу найти точку пересечения графика с осью y.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), которые удовлетворяют равенству y = kx + b. Каждая такая точка показывает пару связанных значений переменных. Для линейной функции все эти точки лежат на одной прямой.

Как это устроено

График получается прямой, потому что при увеличении x на одно и то же число изменение y остаётся постоянным. Например, если x увеличивается на 1, то y изменяется на k, а при увеличении x на 2 — на 2k. Постоянная величина изменения сохраняет один и тот же наклон у всех участков графика.

Чтобы построить график по формуле, сначала выбирают два удобных значения x. Для каждого значения вычисляют y, получают две пары координат и отмечают точки на плоскости. Затем через точки проводят прямую, продолжая её в обе стороны, потому что линейная функция определена для любых действительных x.

Коэффициент k влияет на направление и крутизну прямой. Если k > 0, при движении вправо значения y увеличиваются, поэтому функция возрастает; если k < 0, они уменьшаются, и функция убывает. Чем больше модуль |k|, тем сильнее меняется y при том же изменении x, значит, тем круче наклонена прямая.

Свободный член b определяет положение прямой по вертикали. При x = 0 формула превращается в y = b, поэтому график проходит через точку (0; b) на оси y. Изменение b сдвигает прямую вверх или вниз, но не меняет её наклон, если k остаётся прежним.

Двух точек достаточно, потому что через две различные точки проходит только одна прямая. Если k = 0, выражение kx исчезает и получается y = b — горизонтальная прямая. Если b = 0, формула становится y = kx, а точка (0; 0) принадлежит графику, поэтому прямая проходит через начало координат.

Как коэффициенты линейной функции определяют её график

В таблице удобно искать свойства прямой по значениям k и b. Сначала определите знак углового коэффициента, затем найдите точку на оси y по свободному члену. Особые случаи k = 0 и b = 0 помогают сразу узнать вид графика.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = 2x + 1.

Нужно получить две точки графика, поэтому выберем такие значения x, для которых вычисления просты. Возьмём x = 0 и x = 1. Затем отметим найденные точки и проведём через них прямую.

1. При x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 1, получаем точку (0; 1).
2. При x = 1: y = 2 · 1 + 1 = 3, получаем точку (1; 3).
3. Отмечаем точки (0; 1) и (1; 3) на координатной плоскости.
4. Проводим через них прямую и продолжаем её в обе стороны.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; 1) и (1; 3).

Задача 2. Для функции y = −3x + 2 найти точку пересечения с осью y и определить, возрастает или убывает функция.

Положение пересечения с осью y находим по свободному члену, а характер изменения — по знаку k. В данной формуле k = −3, а b = 2. Поэтому достаточно применить два свойства линейной функции.

1. При x = 0 получаем y = −3 · 0 + 2 = 2, значит, точка пересечения — (0; 2).
2. Так как k = −3 < 0, при увеличении x значение y уменьшается.

Ответ: график пересекает ось y в точке (0; 2), функция убывает.

Задача 3. Прямая проходит через точки (0; −2) и (3; 4). Составить формулу линейной функции и найти значение функции при x = −1.

Ищем формулу y = kx + b. Точка с нулевой первой координатой сразу даёт b, а затем по изменению координат найдём k: вертикальное изменение делим на горизонтальное. После этого подставим нужное значение x в полученную формулу.

1. Из точки (0; −2) получаем b = −2.
2. При переходе от первой точки ко второй x увеличился на 3, а y — на 6. Поэтому k = 6 : 3 = 2.
3. Формула прямой: y = 2x − 2.
4. При x = −1: y = 2 · (−1) − 2 = −4.

Ответ: y = 2x − 2; при x = −1 значение функции равно −4.

Типичные ошибки

Построение по одной точке. Через одну точку можно провести множество прямых, поэтому направление графика останется неизвестным. Ошибку допускают, когда находят только точку (0; b). Проверьте себя: для построения должны быть отмечены как минимум две различные точки.

Путаница между k и b. Иногда свободному члену приписывают наклон, а коэффициенту при x — пересечение с осью y. Это происходит из-за того, что оба числа находятся в одной формуле. Проверьте: k связан с изменением y, а b получается при x = 0.

Графика нет при k = 0. Обнуление коэффициента ошибочно принимают за исчезновение функции. На самом деле формула превращается в y = b, то есть задаёт горизонтальную прямую. Подставьте несколько значений x: результат будет одним и тем же.

Неверное пересечение с осью x. Для оси x нужно использовать y = 0, а не x = 0. Подстановка x = 0 находит пересечение с осью y. Чтобы проверить результат, подставьте найденные координаты в уравнение и убедитесь, что y равно нулю.

Связь с другими темами

Для изучения линейной функции нужны навыки подстановки чисел в буквенное выражение, составления таблицы значений и работы с координатной плоскостью. Формула y = kx + b связана с прямой пропорциональностью y = kx: это частный случай при b = 0. Линейные функции применяются при графическом решении систем уравнений и помогают понимать графики зависимостей в других разделах математики.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• При x = 0 значение функции равно b.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При k = 0 график горизонтален.
• Если b = 0, график проходит через начало координат.