§ 31. Функция у = kx и её график

Определения и обозначения

Функция вида y = kx — зависимость, при которой каждому значению x соответствует значение y, равное произведению x на постоянное число k. Например, при k = 3 каждому x соответствует y = 3x. Такая запись позволяет по выбранному x сразу вычислить соответствующее y.

Число k называют коэффициентом функции y = kx. Это постоянный множитель при x: он определяет, как меняются значения y и насколько наклонена прямая на графике. Коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Зависимость y = kx называют прямой пропорциональностью. При x ≠ 0 отношение y к x постоянно: y / x = k. Это удобно, когда нужно сравнить величины: если одна величина увеличивается в несколько раз, другая изменяется во столько же раз с учётом коэффициента.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), удовлетворяющими заданной формуле. Для y = kx точку проверяют подстановкой её координат в равенство. График помогает увидеть зависимость целиком, а не только для отдельных значений x.

Как это устроено

Чтобы составить таблицу значений, сначала выбирают несколько чисел для x, затем каждое умножают на k и записывают результат в строку y. Например, для y = 2x при x = −1 получаем y = 2 · (−1) = −2, а при x = 1 — y = 2. Каждая пара значений становится координатами точки (x; y), которую можно отметить на плоскости.

График получается прямой, потому что уравнение y = kx задаёт линейную зависимость: при любом выбранном x точка удовлетворяет одному и тому же уравнению. Две разные точки определяют единственную прямую, и остальные вычисленные точки лежат на ней. Поэтому достаточно найти две точки, а остальные значения можно использовать для проверки построения.

Начало координат обязательно принадлежит графику: если подставить x = 0, произведение k · 0 равно нулю, значит, y = 0. Координаты полученной точки — (0; 0). Это верно и для отрицательного k, и для k = 0, поэтому прямая пропорциональность не может иметь график, не проходящий через начало координат.

Знак k определяет, как меняется y при движении слева направо. При k > 0 увеличение x приводит к увеличению y, поэтому функция возрастает и прямая поднимается. При k < 0 произведение становится меньше при увеличении x: функция убывает, и прямая опускается. Например, при k = −2 значения y уменьшаются на 2, когда x увеличивается на 1.

Крутизна прямой зависит от абсолютной величины коэффициента: чем больше |k|, тем сильнее меняется y при одном и том же изменении x и тем круче наклонена прямая к оси x. У коэффициентов с одинаковым модулем, но разными знаками, наклон одинаковый по крутизне, а направление противоположное. Если k = 0, то y = 0 при любом x: график уже не наклонная прямая, а ось абсцисс.

Свойства функции y = kx в зависимости от коэффициента k

Сначала найди знак коэффициента: он подскажет направление изменения и четверти, в которых расположена прямая. Затем проверь случай k = 0 отдельно, потому что множество значений и вид графика здесь отличаются. Чтобы сравнить крутизну двух графиков, сравни модули их коэффициентов.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = 2x по таблице значений для x = −2, −1, 0, 1, 2 и укажите, возрастает ли функция.

1. Подставим каждое значение x в формулу y = 2x. При x = −2 получаем y = −4, при −1 — y = −2, при 0 — 0, при 1 — 2, при 2 — 4. Таблица даёт точки (−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4).

2. Отметим точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Они лежат на одной линии, потому что все координаты вычислены по одной формуле. Прямая проходит и через начало координат.

3. Коэффициент равен 2, то есть он положительный. Поэтому при увеличении x значение y увеличивается, и функция возрастает.

Ответ: график — прямая через указанные точки; функция возрастает.

Задача 2. Не выполняя построения, сравните значения функций y = 3x и y = −0,5x при x = 4 и определите, на каких координатных четвертях расположены их графики.

1. Подставим x = 4 в первую формулу: y = 3 · 4 = 12. Во вторую: y = −0,5 · 4 = −2. Значит, при данном x значение первой функции больше.

2. У первой функции коэффициент положительный, поэтому её прямая проходит через начало координат и точки I и III четвертей. У второй коэффициент отрицательный, поэтому её график проходит через начало координат и точки II и IV четвертей.

3. Полученные значения при x = 4 также согласуются с расположением: первая точка имеет положительные координаты, а вторая — положительную абсциссу и отрицательную ординату. При x = 0 обе прямые сходятся в начале координат.

Ответ: 12 > −2; график y = 3x расположен в I и III четвертях, а график y = −0,5x — во II и IV.

Задача 3. График функции y = kx проходит через точку A(−3; 6). Найдите k и постройте график полученной функции.

1. Раз точка лежит на графике, её координаты должны удовлетворять формуле. Подставим x = −3 и y = 6: 6 = k · (−3). Так мы получаем уравнение для неизвестного коэффициента.

2. Разделим обе части равенства на −3: k = 6 / (−3) = −2. Следовательно, функция имеет вид y = −2x. Отрицательный коэффициент означает, что её график убывает.

3. Для построения возьмём начало координат (0; 0) и точку A(−3; 6). Можно проверить ещё одну точку: при x = 1 получаем y = −2, то есть (1; −2). Проведём прямую через эти точки.

Ответ: k = −2; график функции y = −2x проходит через точки (0; 0), (−3; 6) и (1; −2).

Типичные ошибки

Можно принять график y = kx за любую прямую. Ошибка возникает, если забыть, что при x = 0 значение y обязательно равно нулю. Проверь точку пересечения с осями: график должен проходить через (0; 0).

При составлении таблицы иногда получают точки, не соответствующие формуле, например ошибаются в знаке произведения отрицательного числа на k. Это происходит, когда вычисления делают наспех или не проверяют подстановку. Для самопроверки подставь координаты каждой точки обратно в y = kx.

Знак коэффициента могут спутать с направлением оси y. При k < 0 прямая убывает именно при движении слева направо: с ростом x значение y уменьшается. Проверь знак на двух точках, у которых x увеличивается, например на x = 0 и x = 1.

При k = 0 иногда рисуют наклонную прямую, хотя формула становится y = 0. Такая ошибка появляется, если не подставить ноль вместо коэффициента. Подстановка любого x показывает, что все точки имеют ординату 0, значит, график совпадает с осью абсцисс.

Связь с другими темами

Для работы с функцией y = kx нужны координатная плоскость, умение строить точки по координатам, действия с положительными и отрицательными числами и понятие функции. Они помогают составить таблицу и правильно отметить точки. Дальше эта тема пригодится при изучении линейной функции и преобразований графиков.

Прямая пропорциональность описывает зависимости между величинами в физике, геометрии и практических задачах. Например, при постоянной скорости путь пропорционален времени, а коэффициент показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. График помогает увидеть закономерность и сравнить значения.

Что запомнить

• Функция y = kx задаёт прямую пропорциональность.
• Число k называется коэффициентом прямой пропорциональности.
• График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает.
• Чем больше абсолютное значение k, тем круче наклонена прямая к оси x.
• При k = 0 функция имеет вид y = 0, а её график совпадает с осью абсцисс.