§ 30. Функция

Определения и обозначения

Функция — правило, по которому каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Например, правило может каждому числу x сопоставлять число 2x + 1. Это понятие позволяет точно описывать зависимости и проверять, является ли заданное соответствие функцией.

Аргумент функции — независимая переменная, значение которой выбирают для применения правила; обычно её обозначают x. Например, в выражении y = 2x + 1 аргументом служит x. Название подсказывает, что именно с этого значения начинается вычисление результата.

Значение функции — результат применения правила к аргументу. Его обозначают y или f(x), поэтому запись y = f(x) означает, что значение y получено для аргумента x. Это обозначение помогает различать входное число и результат.

Область определения функции — все значения аргумента, которые допустимо подставлять в правило. Для формулы это значения, при которых выражение имеет смысл. Область определения нужна, чтобы не включать в ответ числа, с которыми вычисление невозможно.

Как это устроено

Возьмём правило y = 2x + 1. Если x = 0, то y = 1; если x = 2, то y = 5. Каждое выбранное x даёт один результат, потому что умножение на 2 и прибавление 1 выполняются однозначно. Поэтому это правило задаёт функцию.

Переменную x называют независимой, потому что сначала выбирают её значение. Значение y уже определяется выбранным x и правилом, поэтому y называют зависимой переменной. Например, в y = 2x + 1 при x = 3 результат обязательно равен 7, а не выбирается отдельно.

Чтобы найти значение функции, вместо аргумента в формуле подставляют указанное число и выполняют действия. Например, при y = 3x − 2 и x = 4 получаем y = 3 · 4 − 2 = 10. Если известно значение функции, можно составить уравнение: для y = x² и y = 25 получаем x² = 25, откуда x = −5 или x = 5.

Область определения зависит и от формулы, и от того, как задана функция: например, таблицей могут быть заданы только перечисленные в ней аргументы. В формулах нужно учитывать допустимость действий: делить на ноль нельзя, поэтому для дроби исключают значения, обращающие знаменатель в ноль. Подстановка такого числа не даст значения функции, так что оно не входит в область определения.

График функции — это точки координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x пробегает область определения. В каждой такой точке первая координата показывает аргумент, а вторая — соответствующее ему значение. Для одного x на графике может быть только одна точка, иначе этому аргументу соответствовали бы два результата.

Основные понятия о функции

Сначала найди в таблице нужное понятие и посмотри, что именно оно обозначает. Затем сверь обозначение с примером для правила y = 2x + 1. Так удобно проверить, не перепутаны ли аргумент и результат.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 3x − 2 найдите значение при x = 4.
Решение:

1. Аргумент задан: x = 4. Значит, нужно заменить x числом 4 в формуле.
2. Вычисляем: y = 3 · 4 − 2 = 12 − 2 = 10.

Ответ: при x = 4 значение функции равно 10.

Задача 2. Функция задана формулой y = x². Найдите аргумент, если значение функции равно 25.
Решение:

1. Неизвестен аргумент x, а результат y равен 25. Подставляем известное значение функции: x² = 25.
2. Ищем числа, квадрат которых равен 25. Подходят и 5, и −5, так как 5² = 25 и (−5)² = 25.

Ответ: x = −5 или x = 5.

Задача 3. Для функции y = (x + 1)/(x − 2) укажите область определения и выясните, принадлежит ли графику точка (3; 4).
Решение:

1. В знаменателе стоит x − 2. Он не должен быть равен нулю, поэтому x − 2 ≠ 0 и x ≠ 2. Область определения — все числа, кроме 2.
2. Проверяем точку: подставляем её первую координату, x = 3. Получаем y = (3 + 1)/(3 − 2) = 4.
3. Полученное значение совпало со второй координатой точки. Значит, обе координаты удовлетворяют формуле функции.

Ответ: область определения — все x, кроме 2; точка (3; 4) принадлежит графику.

Типичные ошибки

Ошибка: считать функцией любую зависимость, не проверив, сколько результатов получает один аргумент. Так происходит, когда замечают связь между величинами, но забывают условие единственности. Проверь: для каждого допустимого x должен находиться ровно один y.

Ошибка: путать аргумент и значение функции и подставлять результат вместо независимой переменной. Обычно числа кажутся взаимозаменяемыми, хотя у них разные роли. Подпиши, что дано: x — аргумент, а y или f(x) — результат.

Ошибка: включать в область определения значение, при котором знаменатель равен нулю. Ограничение легко пропустить, если сразу подставлять числа в формулу. При проверке области определения найди знаменатель и реши, при каком x он обращается в ноль.

Ошибка: проверять принадлежность точки графику только по одной координате. Например, подстановка x сама по себе ещё не подтверждает, что точка подходит. Вычисли f(x) и сравни полученное значение со второй координатой y.

Связь с другими темами

Для работы с функциями понадобятся координатная прямая, числовые выражения и умение подставлять числа в формулы. Координатная прямая помогает понимать, какие числа могут быть аргументами, а вычисления дают значения функции. Без этих навыков трудно находить точки графика.

Понятие функции станет основой для изучения графиков и линейной функции. Оно также помогает решать задачи, в которых одна величина зависит от другой, например количество товара и его стоимость. Умение выделять аргумент и результат позволяет описать такую зависимость формулой.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x).
• Запись y = f(x) указывает, что y зависит от x.
• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).
• Чтобы найти значение функции, подставляют аргумент в правило.