"Алгебра", Алимов Ш.А.
Функция описывает зависимость двух величин, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует ровно одно значение другой. Она помогает записывать и исследовать такие зависимости: например, как меняется расстояние со временем или стоимость покупки с количеством товаров. Независимую переменную обычно обозначают x, а значение функции — y или f(x). Функцию задают формулой, таблицей или графиком, а множество допустимых значений x называют областью определения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Допустимым называют значение, которое разрешено условием задачи или формулой. Это определение позволяет отличить функцию от зависимости, где одному и тому же значению могут соответствовать разные результаты. Например, если каждому числу x поставлено в соответствие число 2x, такая зависимость является функцией.
Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Именно её значение выбирают, чтобы узнать результат зависимости. Аргумент называют независимым, потому что его можно задать первым, а значение второй переменной определяется уже после этого. Понимание роли аргумента помогает правильно подставлять числа в формулу.
Значение функции — значение зависимой переменной y, соответствующее выбранному аргументу; его записывают y = f(x). Запись f(x) читают «эф от икс»: это результат функции при аргументе x, а не произведение букв f и x. Если аргумент равен числу a, результат обозначают f(a). Такая запись коротко показывает, какое значение функции рассматривают.
Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. В неё входят только те числа, с которыми можно использовать формулу и которые разрешены условием задачи. Поэтому прежде чем подставлять аргумент, иногда нужно проверить, принадлежит ли он области определения. Это предотвращает вычисления, которые не имеют смысла в данной задаче.
Зависимость между величинами становится функцией, если каждому допустимому значению первой величины соответствует ровно один результат. Сначала выбирают аргумент, затем по правилу зависимости получают значение функции. Если одному аргументу подходят два разных результата, правило не выполняет основное условие функции. Например, при подсчёте стоимости товара по постоянной цене одному количеству товара соответствует одна стоимость.
Переменная x обычно обозначает аргумент, а y — зависимую от него величину. Слово «независимая» означает, что x выбирают первым, тогда как значение y определяется выбранным x и правилом зависимости. Запись y = f(x) сообщает, что y получается из x с помощью функции f. Если правило задано формулой, например y = 2x + 1, каждому допустимому x можно найти соответствующее y.
Чтобы найти значение функции при заданном аргументе, заменяют букву x этим числом и вычисляют полученное выражение. Такая подстановка нужна потому, что формула описывает общее правило сразу для множества аргументов, а конкретный результат получается после выбора одного из них. Например, для x = 3 в формуле y = 2x + 1 вместо x записывают 3. Затем выполняют действия по порядку и получают значение функции.
Область определения задаёт, какие аргументы разрешено использовать. Ограничение может следовать из смысла задачи: например, количество предметов обычно выражают неотрицательным целым числом. Оно может быть связано и с самой формулой: делить на ноль нельзя, поэтому значения, обращающие знаменатель в ноль, исключают. Проверка области определения помогает не принять невозможное значение за ответ.
Функцию можно задать формулой, таблицей или графиком, потому что каждый из этих способов показывает соответствие между аргументом и результатом. Формула задаёт правило вычисления, таблица перечисляет некоторые готовые пары значений, а график изображает эти пары точками на координатной плоскости. Способ чтения зависит от представления: по формуле подставляют число, в таблице находят его пару, на графике считывают координаты точки. Если нужного аргумента нет в таблице, его значение нельзя просто прочитать без дополнительного правила.
| Способ задания | Как представлена зависимость | Как найти значение функции |
|---|---|---|
| Формулой | Правило записано выражением с аргументом. | Подставить аргумент вместо x и вычислить. |
| Таблицей | Указаны пары значений аргумента и функции. | Найти аргумент в таблице и прочитать соответствующее значение. |
| Графиком | Пары значений изображены точками на координатной плоскости. | Найти точку графика с нужной координатой x и прочитать её координату y. |
| Область определения | Перечислены или описаны допустимые значения аргумента. | Проверить, разрешено ли данное значение x; сама область определения не задаёт результат функции. |
Сначала выясните, каким способом задана зависимость: от этого зависит, где искать нужную пару значений. В таблице важно читать соответствующие друг другу значения в одной колонке или строке, а на графике — учитывать обе координаты точки. Отдельно проверяйте область определения: она сообщает, какие аргументы допустимы, но не заменяет правило нахождения результата.
Условие. Для функции y = 3x − 2 найти значение при x = 4. Здесь задано общее правило, а число 4 — конкретный аргумент. Чтобы узнать результат, нужно заменить им x и вычислить выражение. Решение.
Ответ: при x = 4 значение функции равно 10, то есть f(4) = 10. Полученный результат и есть значение зависимой переменной y для выбранного аргумента. Подстановка позволяет применять одну формулу к разным значениям x. Если бы аргумент изменился, вычисления следовало бы выполнить заново.
Условие. Для функции y = (x + 1)/(x − 2) определить, при каких значениях x она задана. В дроби нельзя делить на ноль, поэтому проверяем знаменатель, а не числитель. Нужно найти значение аргумента, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключить его. Решение.
Ответ: функция задана при всех x, кроме x = 2. Например, x = 0 допустим, а x = 2 — нет: в последнем случае знаменатель стал бы равен нулю. Числитель x + 1 не создаёт запрета, потому что нулевой числитель сам по себе допустим. Найденное исключение и есть ограничение области определения.
Условие. По таблице значений нужно определить значение функции при указанном аргументе и выяснить, является ли зависимость функцией. В таблице аргументам соответствует верхняя строка, а значениям функции — нижняя. Так, для пар (0; 2), (1; 4), (2; 6) значение при x = 1 равно 4. Проверка функции требует посмотреть, не повторяется ли аргумент с разными результатами.
Ответ: при x = 1 функция принимает значение 4; приведённая зависимость является функцией. Если бы в таблице для одного и того же x стояли два разных результата, условие функции нарушалось бы. Повторение одной и той же пары не создаёт двух результатов, но для чтения таблицы важно сохранить соответствие аргумента и значения.
Ошибка — считать функцией любую зависимость, даже если одному аргументу соответствуют разные значения. Такое случается, когда обращают внимание лишь на наличие связи, но забывают её главное условие. Для проверки сгруппируйте пары по аргументу и посмотрите, не встречается ли у одного x два разных y. Если встречается, зависимость не является функцией.
Иногда путают аргумент и значение функции: x принимают за результат, а y — за число, которое нужно подставить. Это происходит потому, что обе величины записывают буквами и они часто стоят в одной формуле. Помните порядок: сначала выбирают x, затем вычисляют y или f(x). Самопроверка проста — проверьте, какое число заменило x и какое получилось после вычислений.
Нельзя забывать ограничения области определения, например считать допустимым число, которое обращает знаменатель в ноль. Ошибку легко допустить, если сразу подставлять значения, не проверяя формулу. Перед вычислениями найдите возможные ограничения и проверьте аргумент. Для дроби достаточно подставить его в знаменатель: результат не должен быть нулём.
Запись f(x) иногда принимают за произведение f · x, потому что в ней рядом стоят буква и скобки. Но f здесь обозначает название функции, а x в скобках указывает выбранный аргумент. Чтобы проверить смысл записи, замените x конкретным числом: f(3) — это результат функции при аргументе 3. Если дано правило, вычислите его значение, а не умножайте название функции на аргумент.
Для работы с функциями нужно уметь подставлять числа вместо переменных и вычислять значения буквенных выражений. Эти навыки нужны, чтобы по формуле находить результат без путаницы в порядке действий. Если вычисления выполнены неверно, ошибочным окажется и найденное значение функции.
Понятие координатной плоскости помогает понимать график функции. Каждая точка на нём задаёт пару координат: аргумент x и соответствующее значение y. Умение читать координаты позволяет находить результаты по графику и проверять, какие пары значений изображены.
Функции понадобятся при изучении линейной и других зависимостей, построении графиков и решении уравнений. Новые темы используют то же соответствие между аргументом и значением, но добавляют способы исследования свойств функции. Поэтому освоение обозначений и области определения создаёт основу для дальнейшей работы.
Что называют функцией?
Функцией называют зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение другой переменной. Если одному аргументу соответствуют два разных результата, это не функция.
Чем аргумент отличается от значения функции?
Аргумент — это независимая переменная, обычно x, которую выбирают или подставляют в зависимость. Значение функции — результат, который получают для этого аргумента и обозначают y или f(x).
Что означает запись f(x)?
Запись f(x) обозначает значение функции при аргументе x. Буква f — название функции, а x показывает, для какого аргумента ищут результат; это не произведение f на x.
Как найти область определения функции?
Нужно определить, какие значения аргумента допустимы по условию задачи и по самой формуле. Например, в дроби знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому для y = (x + 1)/(x − 2) значение x = 2 исключают.
Как определить значение функции по графику?
Найдите на оси x заданное значение аргумента и проведите от него вертикальную линию до графика. Затем от точки пересечения проведите горизонтальную линию к оси y и прочитайте соответствующее значение функции.
§ 30. Функция
