1. Функция

Определения и обозначения

Функция — соответствие, при котором каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение зависимой переменной. Иными словами, каждому разрешённому входу функция ставит в соответствие единственный результат. Это правило позволяет однозначно вычислять результат и изучать зависимость одной величины от другой.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая x. Мы выбираем её значение, а функция по определённому правилу находит соответствующее значение y. Допустимые значения аргумента задают входные данные: подставлять можно только те числа, при которых формула имеет смысл.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана; его обозначают D(f). Чтобы найти это множество, проверяют ограничения формулы. Область определения показывает, какие значения x разрешено использовать.

Область значений функции — множество всех значений, которые принимает функция при аргументах из области определения; его обозначают E(f). Она показывает возможные результаты y. Область значений находят после анализа формулы или графика, поэтому она не обязана совпадать с областью определения.

Как это устроено

Запись y = f(x) читают так: y равно значению функции f при аргументе x. Буква x обозначает выбранное входное число, а f(x) — результат действия правила функции над этим числом. Например, в формуле f(x) = 2x − 3 при x = 4 получаем f(4) = 2 · 4 − 3 = 5, значит y = 5.

Главное условие функции — единственность результата для каждого аргумента. Если одному и тому же x соответствуют два разных значения y, нельзя однозначно определить результат по входу, поэтому это не функция. Разные аргументы при этом могут иметь одно и то же значение функции: например, для y = x² числа −2 и 2 дают одинаковый результат 4.

Область определения по формуле находят так: сначала выписывают все ограничения, затем объединяют их в условие для x. Нулевой знаменатель запрещён, потому что деление на ноль не определено. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку в школьной математике рассматриваются действительные значения корня.

Область значений получают, рассматривая результаты функции при всех допустимых x. Например, у функции y = x² область определения — все действительные числа, а область значений — y ≥ 0, поскольку квадрат не бывает отрицательным. График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения; по горизонтали откладывают аргумент, по вертикали — значение функции.

Чтобы найти по графику значение функции, берут заданную координату x и находят соответствующую координату y точки графика. Если нужно найти аргументы, при которых функция равна заданному числу, проводят горизонталь y = заданное число и смотрят координаты точек пересечения. Для функции вертикальная прямая не может пересекать график более чем в одной точке.

Основные понятия, связанные с функцией

Таблицу удобно использовать как краткую памятку при чтении формулы или графика. Сначала определяют, какое число является аргументом, затем находят значение функции и проверяют, допустимо ли подставлять этот аргумент. Обозначения D(f) и E(f) помогают не путать входные данные с результатами.

Разбор задач

Задача 1

Условие: для функции y = 2x − 3 найдите значение y при x = 4. Здесь значение аргумента уже известно, поэтому нужно применить правило функции к числу 4. Никаких дополнительных ограничений формула не содержит.

1. Записываем формулу: y = 2x − 3.
2. Подставляем x = 4 вместо x: y = 2 · 4 − 3.
3. Выполняем вычисления: y = 8 − 3 = 5.

Ответ: y = 5.

Задача 2

Условие: найдите область определения функции y = 5/(x − 2). Ограничение возникает из-за знаменателя дроби. Нужно исключить то значение x, при котором знаменатель обращается в ноль.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x − 2 = 0.
2. Получаем запрещённое значение: x = 2.
3. Записываем все остальные действительные числа: D(f) = {x ∈ R | x ≠ 2}.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме 2.

Задача 3

Условие: для функции y = √(x + 1) найдите область определения и значение функции при x = 3. Сначала нужно проверить, при каких x квадратный корень существует. Затем можно подставить заданное допустимое значение в исходную формулу.

1. Требуем неотрицательность подкоренного выражения: x + 1 ≥ 0.
2. Решаем неравенство: x ≥ −1, поэтому D(f) = [−1; +∞).
3. Проверяем x = 3 и вычисляем: y = √(3 + 1) = √4 = 2.

Ответ: D(f) = [−1; +∞), при x = 3 значение функции равно 2.

Типичные ошибки

Одному аргументу приписывают два значения. Так нарушается главное условие функции: результат должен быть единственным. Ошибку можно обнаружить, проверив выбранное значение x и все соответствующие ему точки или результаты.

Забывают ограничения формулы. Иногда в область определения включают значение, при котором знаменатель равен нулю, потому что подставляют числа без предварительной проверки. Сначала выпишите запрещённые значения и только потом записывайте область определения.

Путают области определения и значений. Область определения относится к аргументам x, а область значений — к результатам y. Для самопроверки спросите себя: это число подставляют в формулу или получают после вычисления?

При чтении графика называют координату x значением функции. Значение функции — это координата y точки графика, тогда как x является аргументом. Проведите от точки проекции к соответствующей оси и подпишите обе координаты.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужны навыки работы с координатной плоскостью, числовыми выражениями и формулами. Координатная плоскость помогает изображать пары чисел, а преобразование выражений — вычислять значения функции и находить ограничения.

Понятие функции используется при изучении графиков, линейной и квадратичной функций. Позже оно понадобится для исследования свойств функций: монотонности, нулей, промежутков знакопостоянства и других характеристик.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x).
• Область определения содержит допустимые значения аргумента.
• Область значений содержит все значения функции.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).
• При нахождении области определения нужно учитывать ограничения формулы.