§ 31. Функция y = kx и ее график

Определения и обозначения

Функция y = kx — зависимость, в которой каждому значению x соответствует значение y, равное произведению x на постоянное число k. Например, если k = 3, то при x = 2 получаем y = 6. Такая запись позволяет по известному x находить соответствующее значение y.

Коэффициент k — постоянное число, которое определяет наклон и направление графика функции y = kx. Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Зная k, можно вычислить значения функции и понять, как будет выглядеть её график.

Прямая пропорциональность — зависимость вида y = kx, при которой отношение y к x постоянно и равно k, если x не равен нулю. Например, если y = 3x, то отношение y/x равно 3 для любого ненулевого x. Это помогает распознавать такую зависимость в задачах о двух величинах.

График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат, то есть через точку (0; 0). Любая точка графика имеет координаты, связанные равенством y = kx. График наглядно показывает, как меняется y при изменении x.

Как это устроено

Чтобы найти значение функции для заданного x, подставь это число вместо x и умножь его на k. Например, при y = 2x и x = 3 получаем y = 2 · 3 = 6. Для таблицы выбери несколько значений x и для каждого отдельно вычисли y по формуле. В таблице удобно сначала записать строку значений x, а под ней — соответствующие значения y.

Если x увеличить в несколько раз, y увеличится во столько же раз, когда k постоянно. Действительно, при новом значении x, равном, например, 4x, получится y = k · 4x = 4 · kx. Выражение kx — прежнее значение y, поэтому новое y окажется в четыре раза больше. Это свойство и объясняет название «прямая пропорциональность».

График получается прямой, потому что значения y для всех x подчиняются одному и тому же правилу y = kx. Две точки, удовлетворяющие этому правилу, определяют единственную прямую: через две разные точки можно провести только одну прямую. Поэтому для построения достаточно найти две точки, а дополнительные точки помогают проверить вычисления. Если отметки не лежат на одной прямой, вероятно, допущена ошибка в таблице или построении.

Начало координат всегда принадлежит графику: при x = 0 произведение kx равно нулю, то есть y = 0. Для второй точки можно взять, например, x = 1: тогда y = k и точка имеет координаты (1; k). Поэтому коэффициент показывает, на сколько единиц вверх или вниз изменится y при переходе от x = 0 к x = 1. Если точка (1; k) неудобна для чертежа, выбери другое значение x и вычисли y по формуле.

Знак k определяет направление прямой: при положительном k она поднимается слева направо, а при отрицательном опускается. При k = 0 все значения y равны нулю, поэтому график совпадает с осью x. Величина |k| влияет на наклон: чем больше модуль коэффициента, тем круче прямая. Например, y = 2x наклонена круче, чем y = 0,5x, а график y = −2x круче, чем y = −x.

Графики функций y = kx при разных значениях k

Сначала определи знак k, чтобы понять направление прямой и её расположение. Затем сравни модуль k с единицей: это покажет, будет наклон крутым или пологим. Для строк с положительным и отрицательным k характерная точка (1; k) помогает быстро наметить график.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 3x найдите значение y при x = 2 и проверьте, принадлежит ли точка (−1; −3) её графику.

1. Подставим x = 2 в формулу: y = 3 · 2 = 6.
2. Чтобы проверить точку, подставим её первую координату −1: по формуле должно получиться y = 3 · (−1) = −3.
3. Полученное значение совпало со второй координатой точки, значит, проверяемое равенство выполняется.

Ответ: при x = 2 значение y равно 6; точка (−1; −3) принадлежит графику.

Задача 2. Постройте график функции y = −2x, составив таблицу значений для двух-трёх значений x. Укажите, в каких координатных четвертях расположена прямая.

1. Выберем удобные значения x: −1, 0 и 1. Они дают и отрицательное, и положительное значения x, а также начало координат.
2. Вычислим значения по формуле: при x = −1 получаем y = 2, при x = 0 — y = 0, при x = 1 — y = −2. В таблице будут пары (−1; 2), (0; 0) и (1; −2).
3. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Коэффициент отрицателен, поэтому прямая убывает слева направо.
4. При отрицательном x значение y положительно, а при положительном x значение y отрицательно. Значит, кроме начала координат, прямая проходит через II и IV четверти.

Ответ: график проходит через точки (−1; 2), (0; 0), (1; −2) и расположен во II и IV четвертях.

Задача 3. График прямой пропорциональности проходит через точку A(4; −6). Найдите коэффициент k и определите, проходит ли через этот график точка B(−2; 3).

1. Так как точка A лежит на графике, её координаты удовлетворяют равенству y = kx: −6 = 4k.
2. Разделим обе части на 4 и найдём коэффициент: k = −6/4 = −1,5. Формула графика — y = −1,5x.
3. Проверим точку B: при x = −2 формула даёт y = −1,5 · (−2) = 3. Это равно второй координате точки B.

Ответ: k = −1,5; точка B(−2; 3) принадлежит графику.

Типичные ошибки

Ошибка: считать графиком y = kx любую прямую. Не каждая прямая проходит через начало координат, а для функции этого вида точка (0; 0) обязательна, поскольку при x = 0 получаем y = 0. Такую ошибку допускают, если ориентируются только на прямолинейность графика. Проверь, проходит ли прямая через начало координат.

Ошибка: путать коэффициент k с координатой точки и писать k = x или k = y. Значение k задаёт отношение координат точки графика: при x ≠ 0 верно k = y/x. Путаница возникает из-за того, что k появляется в формуле рядом с x. Для проверки подставь координаты точки в y = kx и убедись, что равенство выполняется.

Ошибка: неверно определять направление графика. При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает; знак коэффициента не зависит от выбранного масштаба чертежа. Ошибка возможна, если смотреть на прямую справа налево или забыть знак минус при вычислениях. Проверь направление, сравнив значения y при двух увеличивающихся значениях x.

Ошибка: строить график только по одной точке. Через одну точку можно провести множество разных прямых, поэтому она не задаёт график однозначно. Часто забывают, что сама по себе точка (0; 0) не показывает наклон. Найди ещё одну точку по формуле и проведи прямую через обе; третью точку можно использовать для проверки.

Связь с другими темами

Для изучения функции y = kx нужны координатная плоскость, умение строить точки и прямые, вычислять значения выражений и работать с пропорциями. Позже этот график поможет понять линейную функцию, системы уравнений и графическое решение уравнений. Прямая пропорциональность также описывает зависимости величин в физике и геометрии. Поэтому важно уметь связывать формулу, таблицу значений и график.

Что запомнить

• Функция прямой пропорциональности имеет вид y = kx.
• Число k называется коэффициентом пропорциональности.
• График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• Для построения графика достаточно найти две точки, удовлетворяющие формуле.
• При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 — убывает.
• Чем больше |k|, тем круче наклон графика к оси x.
• При k = 0 график совпадает с осью x.