6.3. Линейная функция и её график

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента x соответствует единственное значение y. Аргументом называют независимую переменную, а y зависит от выбранного x. Это понятие нужно, чтобы точно описывать и сравнивать зависимости между величинами.

Линейная функция — функция, задаваемая формулой y = kx + b, где k и b — числа. Буквы k и b называют коэффициентами; если подставить значение x, формула позволит вычислить соответствующее y. Такой записью удобно описывать зависимости, графиком которых служит прямая.

Коэффициент наклона k — коэффициент при x в формуле линейной функции. Он показывает, как меняется y при изменении x, и определяет направление и крутизну прямой. По k можно заранее понять, будет функция возрастать или убывать.

Начальная ордината b — значение функции при x = 0. При подстановке нуля слагаемое kx обращается в ноль, поэтому y = b, а график проходит через точку (0; b). Это определение помогает быстро найти пересечение прямой с осью y.

Как это устроено

Формула y = kx + b получается из прямой пропорциональности y = kx добавлением постоянного числа b. При каждом значении x к прежнему результату прибавляется одно и то же число, поэтому все значения y сдвигаются на одинаковую величину. Именно поэтому график перемещается вверх при положительном b или вниз при отрицательном b, но остаётся прямой.

График линейной функции — прямая, и для её построения достаточно двух точек с разными x. Сначала выбирают два удобных значения аргумента, затем подставляют их в формулу и получают пары координат. Через две разные точки проходит единственная прямая, поэтому можно провести её через найденные точки; дополнительные значения помогают проверить точность построения.

Коэффициент k задаёт направление прямой, потому что определяет, как меняется y при увеличении x. При k > 0 значения y растут, значит функция возрастает; при k < 0 они уменьшаются, значит функция убывает. Если k = 0, переменная x не влияет на результат и формула превращается в y = b — постоянную функцию.

Чем больше модуль |k|, тем сильнее меняется y при одном и том же изменении x, поэтому прямая выглядит круче. Число b задаёт точку пересечения с осью y, но не влияет на наклон: наклон определяется только k. Например, функции y = 2x + 1 и y = 2x − 3 имеют одинаковое направление и наклон, хотя пересекают ось y в разных точках.

График y = kx проходит через начало координат, потому что при x = 0 значение y тоже равно нулю. Если b ≠ 0, график y = kx + b сдвинут относительно него по вертикали на b единиц. Такой перенос сохраняет направление и наклон прямой, так как коэффициент k остаётся прежним.

Как коэффициенты линейной функции определяют её график

Сначала смотрите на k: он подсказывает направление и наклон прямой. Затем используйте b, чтобы отметить пересечение с осью y. Так можно представить основные свойства графика ещё до его построения.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x − 1.

Чтобы провести прямую, найдём значения функции для двух удобных значений x. Выберем x = 0 и x = 1: подстановка нуля сразу покажет пересечение с осью y. Затем проверим, что полученные точки различны, и проведём через них прямую.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1. Первая точка — (0; −1).
2. При x = 1 получаем y = 2 · 1 − 1 = 1. Вторая точка — (1; 1).
3. Отметим точки (0; −1) и (1; 1) на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −1) и (1; 1). Перед построением полезно проверить значения подстановкой в исходную формулу, чтобы не перепутать координаты.

Определите, возрастает или убывает функция y = −3x + 4, и укажите точку пересечения её графика с осью y.

В формуле коэффициент при x равен −3, а свободный член равен 4. Знак коэффициента при x определяет направление изменения функции, поэтому для ответа о возрастании не нужно строить весь график. Для точки пересечения с осью y достаточно положить x = 0.

1. Определяем коэффициент наклона: k = −3.
2. Так как k < 0, функция убывает.
3. При x = 0 получаем y = −3 · 0 + 4 = 4, значит график пересекает ось y в точке (0; 4).

Ответ: функция убывает; точка пересечения с осью y — (0; 4). Значение b = 4 совпадает с ординатой этой точки.

Найдите формулу линейной функции, график которой проходит через точки (−1; 5) и (2; −1).

Искомая формула имеет вид y = kx + b, но оба коэффициента пока неизвестны. Каждая заданная точка должна удовлетворять формуле, поэтому подставим координаты обеих точек. Полученную систему решим сначала относительно k, а затем найдём b.

1. Для точки (−1; 5): 5 = −k + b, то есть −k + b = 5.
2. Для точки (2; −1): −1 = 2k + b, то есть 2k + b = −1.
3. Вычтем первое уравнение из второго: 3k = −6, откуда k = −2.
4. Подставим k = −2 в −k + b = 5: 2 + b = 5, поэтому b = 3.
5. Запишем формулу y = −2x + 3 и проверим точки: при x = −1 получаем 5, при x = 2 получаем −1.

Ответ: y = −2x + 3. Проверка подстановкой обеих абсцисс подтверждает, что найденная прямая проходит через заданные точки.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что график y = kx + b всегда проходит через начало координат. Так думают, потому что график прямой пропорциональности y = kx действительно проходит через эту точку. Проверьте b: начало координат принадлежит графику только при b = 0.

Ошибка: путать коэффициенты k и b. Оба числа стоят в формуле, но k умножается на x и задаёт наклон, а b прибавляется и задаёт пересечение с осью y. Проверка: подставьте x = 0 — останется именно b.

Ошибка: определять возрастание по знаку b. Свободный член показывает положение прямой, а не её направление, поэтому положительное b не означает, что функция возрастает. Для проверки найдите коэффициент k при x: его знак и определяет направление изменения.

Ошибка: строить прямую по одной точке. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, и одна координатная пара не задаёт нужный наклон. Найдите значения функции хотя бы для двух разных x, а затем проведите прямую через обе точки.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа в формулу, составлять таблицу значений и отмечать точки на координатной плоскости. Тема опирается на понятие функции и прямую пропорциональность y = kx: добавление b меняет положение её графика. Позже линейные функции пригодятся при графическом решении систем уравнений. С их помощью также описывают зависимости в задачах, где величины меняются равномерно.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• Если k > 0, функция возрастает; если k < 0, убывает.
• При k = 0 функция постоянна.
• График пересекает ось y в точке (0; b).
• При b = 0 график проходит через начало координат.