6.4. Равномерное движение

Определения и обозначения

Равномерное движение — движение, при котором за равные промежутки времени тело проходит равные расстояния. Например, если автомобиль каждый час проезжает одинаковое число километров, его движение можно считать равномерным. Это понятие помогает использовать одну и ту же скорость на всём рассматриваемом участке.

Скорость — расстояние, которое тело проходит за единицу времени; её обозначают буквой v. Скорость показывает, насколько быстро меняется положение тела, и позволяет сравнивать разные движения. Её измеряют, например, в километрах в час (км/ч) или метрах в секунду (м/с).

Путь — расстояние, пройденное движущимся телом; его обозначают буквой s. По пути можно определить, насколько далеко переместилось тело за время движения. Путь выражают единицами длины: метрами, километрами и другими.

Время движения — промежуток, в течение которого тело находилось в движении; его обозначают буквой t. Время нужно, чтобы связать скорость с пройденным путём. Его измеряют в секундах, минутах или часах, выбирая единицы, подходящие к условию задачи.

Как это устроено

При равномерном движении за каждую единицу времени тело проходит одинаковый путь, потому что скорость не меняется. За несколько единиц времени таких одинаковых отрезков набирается несколько: например, за t часов при скорости v км/ч тело проходит t отрезков по v километров. Поэтому общий путь равен произведению скорости на время: s = vt. Формула описывает весь путь, если тело двигалось с этой скоростью в течение указанного времени.

Из равенства s = vt можно выразить любую из трёх величин, если две другие известны. Чтобы найти скорость, путь делят на время: v = s/t; это удобно, когда известны расстояние и длительность движения. Чтобы найти время, путь делят на скорость: t = s/v; так поступают, если известны расстояние и скорость. Проверка единиц помогает убедиться в выборе: километры, разделённые на км/ч, дают часы.

Перед составлением уравнения нужно согласовать единицы величин, потому что формула связывает их как измеряемые числа. Например, скорость 60 км/ч нельзя напрямую умножать на время в минутах, если результат нужен в километрах. Можно перевести минуты в часы или преобразовать скорость в километры в минуту. Аналогично, для скорости в м/с время следует выразить в секундах, а путь — в метрах.

При движении навстречу друг другу участники за одно и то же время проходят части расстояния, которые вместе уменьшают промежуток между ними. Поэтому скорость сближения равна сумме скоростей: v₁ + v₂. Если тела движутся в одном направлении, то расстояние между ними меняется из-за разницы пройденных путей, поэтому скорость сближения или удаления равна разности скоростей. Важно определить, какое тело движется быстрее и сокращается ли расстояние между участниками.

Чтобы составить уравнение по задаче, обозначают неизвестную величину, например скорость одного участника. Затем через неё выражают остальные нужные величины и находят путь каждого по формуле s = vt. Если участники встретились, их пути вместе равны начальному расстоянию; если один догнал другого, пути от общего пункта старта к моменту встречи равны. В условии с разным временем старта каждому участнику нужно записать собственное время движения.

Величины равномерного движения и зависимости между ними

Сначала найди в таблице ситуацию, которая описана в задаче, и выпиши подходящую связь. Затем проверь, что обозначают известные величины и в каких единицах они заданы. Если в задаче движутся два тела, отдельно определи скорость изменения расстояния между ними.

Разбор задач

Задача 1

Автомобиль ехал равномерно со скоростью 60 км/ч в течение 2,5 ч. Нужно найти путь. Скорость дана в километрах в час, а время — в часах, поэтому единицы согласованы. Используем формулу для пути, не переводя величины.

1. Запишем формулу: s = vt.
2. Подставим значения: s = 60 · 2,5.
3. Вычислим: s = 150 км.

Ответ: автомобиль прошёл 150 км. Проверка по смыслу показывает, что за 2,5 часа он должен проехать больше, чем за 2 часа при той же скорости. Значение 150 км этому условию соответствует.

Задача 2

Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 18 км. Их скорости равны 4 км/ч и 5 км/ч; требуется узнать время до встречи. За каждый час расстояние между ними уменьшается на сумму пройденных ими путей. Значит, можно составить уравнение через время движения.

1. Обозначим время до встречи через t часов.
2. Пути пешеходов равны 4t км и 5t км, а вместе они составляют 18 км: 4t + 5t = 18.
3. Решим уравнение: 9t = 18, откуда t = 2.

Ответ: пешеходы встретятся через 2 ч. Это также следует из скорости сближения: 4 + 5 = 9 км/ч, а 18 : 9 = 2 ч. Оба способа учитывают, что участники идут навстречу одновременно.

Задача 3

Поезд отправился из пункта A, а через 2 ч за ним выехал автомобиль, скорость которого на 30 км/ч больше скорости поезда. Автомобиль догнал поезд через 3 ч после своего выезда; по условию поезд к встрече прошёл 300 км. Проверим, согласуются ли все эти данные: поезд двигался до встречи 2 + 3 = 5 ч. Условие о его пути задаёт скорость поезда, а условие о догонянии — ещё одну связь между путями.

1. Обозначим скорость поезда через x км/ч; скорость автомобиля тогда равна x + 30 км/ч.
2. Поезд прошёл 300 км за 5 ч, значит, 5x = 300 и x = 60 км/ч.
3. Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 90 км/ч и прошёл 3 · 90 = 270 км.
4. Для встречи после общего старта из A пути должны быть равны, однако 300 ≠ 270.

Ответ: данные задачи противоречивы, подходящих скоростей нет. Если использовать только условие о пути поезда, получаются скорости 60 км/ч и 90 км/ч, но автомобиль за 3 ч не догонит поезд. Следовательно, в условии должно быть изменено хотя бы одно число.

Типичные ошибки

Одна ошибка — подставить в формулу скорость в км/ч, а время в минутах. Так поступают, когда не замечают, что час и минута — разные единицы; результат тогда получается неверным по масштабу. Перед вычислением проверь, совпадают ли единицы времени в скорости и в условии, и при необходимости переведи их.

Иногда путают формулы пути, скорости и времени: например, умножают путь на время, хотя нужно найти скорость. Причина — запоминание букв без связи с их смыслом. Проверь формулу по условию и единицам: для скорости путь делят на время, и результат должен иметь единицы длины за единицу времени.

При встречном движении некоторые вычитают скорости, а при движении в одном направлении — складывают. Это происходит, если выбирать действие только по словам «два тела», не учитывая изменение расстояния. Представь, как меняется промежуток между участниками: при движении навстречу он уменьшается на сумму путей, а в одном направлении — на разность.

Ещё одна ошибка — считать, что оба участника двигались одинаковое время, хотя один мог отправиться позже. Поскольку время старта ускользает из внимания, в уравнении случайно появляются одинаковые множители времени. Для проверки запиши отдельно момент старта и длительность движения каждого: например, при задержке на 2 ч первый едет на 2 ч дольше второго.

Связь с другими темами

Для решения задач на равномерное движение нужно уметь решать линейные уравнения и выражать одну величину через другие. Это помогает перевести текст условия в математическую запись и найти неизвестное. Также пригодятся знания об отношениях между единицами длины, времени и скорости: их нужно переводить к согласованному виду.

Модель движения используют в задачах на встречу и догоняние, а также при составлении рациональных уравнений. В каждой такой задаче путь связывает скорость и время, но у участников могут быть разные условия старта. Поэтому полезно сначала составить отдельные выражения для каждого движения, а потом связать их по условию встречи или изменения расстояния.

Что запомнить

• При равномерном движении скорость постоянна.
• Путь находят по формуле s = vt.
• Скорость равна отношению пути ко времени: v = s/t.
• Время равно отношению пути к скорости: t = s/v.
• Перед вычислениями величины нужно привести к согласованным единицам.
• При движении навстречу скорости складывают, при движении в одном направлении находят их разность.